[논문 리뷰] On zeta functions composed by the Hurwitz and periodic zeta functions

Takashi Nakamura|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 23.

Analytic Number Theory Research인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 히르츠 및 주기적 제타 함수로 구성된 제타 함수의 실근을 조사하며, 특정 조건 하에서 $ Y(s,a) $, $ X(s,a) $, $ Z(s,a) $, $ P(s,a) $와 같은 조합이 음의 정수에서 단순 실근을 가지며, 이를 정확한 매개변수 조건 하에 증명한다. 제로의 위치에 대한 날카운 기준을 수립하고 점점 가까워지는 행동을 분석하여 확장된 셀버그 계열과 $ L $-함수의 함수방정식에 기여한다.

ABSTRACT

In this paper, we show the following; (1) The periodic zeta function ${ m{Li}}_s (e^{2\pi ia})$ with $0<a<1/2$ or $1/2 < a <1$ does not vanish on the real line. (2) All real zeros of $Y(s,a):=\zeta (s,a) - \zeta (s,1-a)$, $O(s,a) := -i { m{Li}}_s (e^{2\pi ia}) + i{ m{Li}}_s (e^{2\pi i(1-a)})$ and $X(s,a) := Y(s,a) + O(s,a)$ with $0 < a < 1/2$ are simple and at only the negative odd integers. (3) All real zeros of $Z(s,a):=\zeta (s,a) + \zeta (s,1-a)$ are simple and on only the non-positive even integers if and only if $1/4 \le a \le 1/2$. (4) All real zeros of $P(s,a):={ m{Li}}_s (e^{2\pi ia}) + { m{Li}}_s (e^{2\pi i(1-a)})$ are simple and on only the negative even integers if and only if $1/4 \le a \le 1/2$. Moreover, the asymptotic behavior of real zeros of $Z(s,a)$ and $P(s,a)$ are studied when $0 < a < 1/4$. We also give some remarks related to the functional equations of the Riemann and Dedekind zeta functions, and the extended Selberg class. Especially, we give $L$-functions can be expanded in a Dirichlet series converges somewhere and fulfill the functional equation that appeared in Hamburger's or Hecke's theorem. Furthermore, we construct $L$-functions in the extended Selberg class of degree 2 whose all real zeros of are at only the non-positive even or odd integers but infinitely many complex zeros are in the half-plane $\sigma >1$ and strips $0 < \sigma <1/2$ and $1/2 < \sigma <1$.

연구 동기 및 목표

• 히르츠 및 주기적 제타 함수로 구성된 제타 함수의 실근의 위치와 중복도를 규명하는 것.
• 실근이 음의 정수에서만 발생하도록 하기 위한 매개변수 $ a \in (0,1) $에 대한 필요 및 충분 조건을 설정하는 것.
• 매개변수 $ 0 < a < 1/4 $일 때 $ Z(s,a) $ 및 $ P(s,a) $의 실근의 점점 가까워지는 행동을 연구하는 것.
• 리만 및 딜리클레 제타 함수의 함수방정식과 확장된 셀버그 계열 내 $ L $-함수 간의 관계를 탐색하는 것.
• 비음수 짝수 또는 홀수 정수에서만 실근을 가지며, 임의의 수의 복소수 근을 비critical strip 내에 가지는 2차수의 $ L $-함수를 구성하는 것.

제안 방법

• 주기적 제타 함수 $ \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) $를 $ 0 < a < 1/2 $ 또는 $ 1/2 < a < 1 $에서 분석하여 실선에서 영이 되지 않음을 증명하는 것.
• $ Y(s,a) = \zeta(s,a) - \zeta(s,1-a) $, $ O(s,a) = -i\text{Li}_s(e^{2\pi i a}) + i\text{Li}_s(e^{2\pi i(1-a)}) $, 및 $ X(s,a) = Y(s,a) + O(s,a) $의 정의 및 연구.
• $ Z(s,a) = \zeta(s,a) + \zeta(s,1-a) $ 및 $ P(s,a) = \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) + \text{Li}_s(e^{2\pi i(1-a)}) $의 조사로 근의 분포에 집중하는 것.
• 확장된 셀버그 계열 내 $ L $-함수 분석을 위해 함수방정식 및 딜리클레 급수의 성질을 활용하는 것.
• 지정된 실근과 복소수 근을 가지는 2차수의 $ L $-함수를 구성하며, $ \sigma > 1 $, $ 0 < \sigma < 1/2 $, 및 $ 1/2 < \sigma < 1 $ 영역에 존재하는 것.
• $ 0 < a < 1/4 $일 때 $ Z(s,a) $ 및 $ P(s,a) $의 실근의 점점 가까워지는 행동 분석.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 $ a \in (0,1) $ 값에서 $ Y(s,a) $, $ X(s,a) $, $ Z(s,a) $, $ P(s,a) $가 음의 홀수 또는 짝수 정수에서만 실근을 가지는가?
• RQ2 매개변수 $ 0 < a < 1/4 $일 때 $ Z(s,a) $ 및 $ P(s,a) $의 실근의 점점 가까워지는 행동은 어떠한가?
• RQ3 확장된 셀버그 계열 내 2차수의 $ L $-함수를 구성할 수 있는가? 이 경우 모든 실근이 비음수 짝수 또는 홀수 정수에 위치하고, 복소수 근이 $ \sigma > 1 $, $ 0 < \sigma < 1/2 $, 및 $ 1/2 < \sigma < 1 $ 영역에 존재하는가?
• RQ4 리만 및 딜리클레 제타 함수의 함수방정식은 구성된 $ L $-함수의 딜리클레 급수 전개 및 함수방정식과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $ 0 < a < 1/2 $ 또는 $ 1/2 < a < 1 $일 때 $ \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) $가 실선에서 영이 되지 않는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 주기적 제타 함수 $ \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) $는 $ 0 < a < 1/2 $ 또는 $ 1/2 < a < 1 $일 때 실선에서 영이 되지 않는다.
• $ 0 < a < 1/2 $일 때 $ Y(s,a) $, $ O(s,a) $, $ X(s,a) $의 모든 실근은 단순하며, 음의 홀수 정수에서만 존재한다.
• $ Z(s,a) = \zeta(s,a) + \zeta(s,1-a) $의 모든 실근은 단순하며, $ 1/4 \leq a \leq 1/2 $일 때에만 비음수 짝수 정수에서만 존재한다.
• $ P(s,a) = \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) + \text{Li}_s(e^{2\pi i(1-a)}) $의 모든 실근은 단순하며, $ 1/4 \leq a \leq 1/2 $일 때에만 음의 짝수 정수에서만 존재한다.
• $ 0 < a < 1/4 $일 때 $ Z(s,a) $ 및 $ P(s,a) $의 실근은 특정한 점점 가까워지는 행동를 보이지만, 정확히 정수에만 국한되지 않는다.
• 논문은 비음수 짝수 또는 홀수 정수에서만 실근을 가지며, $ \sigma > 1 $, $ 0 < \sigma < 1/2 $, 및 $ 1/2 < \sigma < 1 $ 영역에 무한히 많은 복소수 근을 가지는 2차수의 확장된 셀버그 계열 내 $ L $-함수를 구성한다.