[논문 리뷰] Once more on comparison of tail index estimators

Vygantas Paulauskas, Marijus Vaičiulis|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 07.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 22인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 무거운 尾 분포의 꼬리 지수에 대한 Hill, Pickands, de Vries 추정량과 최근 제안된 순서통계량 기반의 군집화된 자료 추정량을 비교한다. 두 번째 차수 정규변동 조건을 사용하여 최적의 표본 분량을 유도하고, 새로운 추정량이 특정 매개수 영역에서는 Hill 및 de Vries 추정량을 능가함을 보여주며, Pickands 추정량과 새로운 추정량이 (α, β) 평면의 특정 영역에서 지배함을 밝힌다.

ABSTRACT

We consider heavy-tailed distributions and compare the well-known estimators of the tail index, based on extreme value theory with a comparatively recent estimator based on a different idea.

연구 동기 및 목표

• 두 번째 차수 정규변동 조건 하에서 고전적 꼬리 지수 추정량(Hill, Pickands, de Vries)의 점근적 성능을 비교하기 위해.
• 랜덤 밀도 볼록 안정 집합에서 유도된 군집 순서통계량 기반으로 새로 제안된 추정량을 평가하기 위해.
• 두 번째 차수 조건 하에서 각 추정량에 대한 최적의 표본 분량을 결정하기 위해.
• 점근적 상대 효율성에 의한 평균제곱오차(MSE) 비교를 통해 새로운 추정량의 MSE를 기존 추정량과 비교하기 위해.
• 새로운 추정량이 고전적 추정량보다 지배되거나 지배당하는 매개수 영역(α, β)을 규명하기 위해.

제안 방법

• 표본을 크기 m인 n개의 군집으로 나누고, 각 군집에서 두 번째로 큰 값과 가장 큰 값의 비율을 계산한다.
• 이 비율들의 평균으로 추정량을 정의한다: $ Z_n = n^{-1} ar{S}_n $, 여기서 $ S_n = ar{S}_n $는 군집 별 비율의 합이다.
• 두 번째 차수 조건: $ 1 - F(x) = C_1 x^{-eta} + C_2 x^{-eta} + o(x^{-eta}) $, $ 0 < \beta < \beta \neq \beta $ 하에서 점근적 정규성과 최적의 표본 분량 선택을 도출한다.
• 각 추정량에 대해 점근적 평균제곱오차 최소화를 통해 최적의 표본 분량 $ k^{(j)}_{\text{opt}}(N) $을 유도한다.
• 점근적 상대 효율성은 평균제곱오차의 극한 비율을 통해 계산된다: $ RMMSE(j) = \frac{\mathbb{E}(\hat{p} - p)^2}{\mathbb{E}(p_{N,k}^{(j)} - p)^2} $.
• (α, β) 및 (γ, ρ) 평면에서 그래픽적 비교를 수행하여 각 추정량의 지배 영역을 시각화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 (α, β) 평면에서 새로운 군집 기반 추정량이 Hill 추정량보다 더 낮은 점근적 평균제곱오차를 가지는 영역은 어디인가요?
• RQ2 두 번째 차수 매개수의 다양한 값에서 새로운 추정량의 성능은 Pickands 및 de Vries 추정량과 어떻게 비교될 수 있나요?
• RQ3 두 번째 차수 정규변동 조건 하에서 새로운 추정량에 대한 최적의 표본 분량 $ k $ 는 무엇입니까?
• RQ4 점근적 상대 효율성 측면에서 새로운 추정량이 고전적 추정량보다 지배되거나 지배당하는 조건는 무엇입니까?
• RQ5 (α, β) 대신 (γ, ρ)로 재매개수화했을 때 추정량의 지배 영역은 어떻게 변화합니까?

주요 결과

• Hill 추정량 ($ p_{N,k}^{(1)} $)은 모든 $ 0 < \alpha < \beta $ 에 대해 $ RMMSE(1) > 1 $ 이므로 새로운 추정량 $ \hat{p} $ 보다 더 높은 점근적 평균제곱오차를 가진다.
• de Vries 추정량 ($ p_{N,k}^{(4)} $) 역시 부등식 $ (\alpha+1)^6 - 4\alpha^3(\alpha+2) > 0 $ 의 영향으로 새로운 추정량을 능가한다. 따라서 $ RMMSE(4) > 1 $ 이다.
• Figure 1a에 시각화된 바와 같이, $ RMMSE(2) < 1 $ 인 영역에서 새로운 추정량 $ \hat{p} $ 는 Pickands 추정량 ($ p_{N,k}^{(2)} $)을 능가한다.
• Figure 1b에 나타낸 바와 같이, $ RMMSE(3) < 1 $ 인 영역에서 새로운 추정량 $ \hat{p} $ 는 $ p_{N,k}^{(3)} $ 추정량을 지배한다.
• Figure 1c에서 새로운 추정량은 진한 회색(지배), Pickands는 검은색, $ p_{N,k}^{(3)} $ 는 연한 회색으로 표시되어 특정 (α, β) 영역에서의 명확한 지배 영역을 보여준다.
• 점근적 상대 효율성 비율 $ RMMSE(j) $ 는 매개수 $ \alpha, \beta, \zeta $ 와 감마 함수 $ \Gamma(\cdot) $ 를 포함하는 닫힌 형태로 유도되었으며, $ \eta(\alpha, \beta) $ 에 대한 명시적 의존성을 가진다.