[논문 리뷰] One-dimensional quantum systems at finite temperatures can be simulated efficiently on classical computers

Thomas Barthel|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 30.

Quantum many-body systems참고 문헌 78인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 열적 이론을 적용한 1차원 양자 시스템을 매트릭스 곱 상태(MPS)를 이용해 고전적 컴퓨터에서 효율적으로 시뮬레이션할 수 있음을 보여준다. 이는 열장 이중 상태(TDS)와 레니 엔트로피 척도를 활용한 것으로, 비가속 시스템의 경우 필요한 결합 차원이 온도의 역수에 대해 다항식적으로 증가하고, 가속 시스템의 경우 일정하게 유지됨을 증명한다. 이는 DMRG 유사 방법을 통한 효율적 고전적 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

It is by now well-known that ground states of gapped one-dimensional (1d) quantum-many body systems with short-range interactions can be studied efficiently using classical computers and matrix product state techniques. A corresponding result for finite temperatures was missing. Using the replica trick in 1+1d quantum field theory, it is shown here that the cost for the classical simulation of 1d systems at finite temperatures grows in fact only polynomially with the inverse temperature and is system-size independent -- even for gapless systems. In particular, we show that the thermofield double state (TDS), a purification of the equilibrium density operator, can be obtained efficiently in matrix-product form. The argument is based on the scaling behavior of Rényi entanglement entropies in the TDS. At finite temperatures, they obey the area law. For gapless systems with central charge $c$, the entanglement is found to grow only logarithmically with inverse temperature, $S_α\sim \frac{c}{6}(1+1/α)\log β$. The field-theoretical results are tested and confirmed by quasi-exact numerical computations for integrable and non-integrable spin systems, and interacting bosons.

연구 동기 및 목표

• 유한 온도 1차원 양자 시스템이 고전적으로 효율적으로 시뮬레이션될 수 있음을 입증하고, 이는 이전의 기본 상태 결과를 확장하기 위함이다.
• 열장 이중 상태(TDS)의 얽힘 구조를 분석한다. TDS는 열 밀도 행렬의 순수화된 표현이다.
• TDS에서 레니 얽힘 엔트로피가 비록 비가속 시스템일지라도 면적 법칙을 따름을 증명한다.
• TDS에서 MPS 근사에 필요한 결합 차원이 비가속 시스템의 경우 온도의 역수에 대해 다항식적으로 증가하고, 가속 시스템의 경우 일정하게 유지됨을 보여준다.
• 적분 가능하고 비적분 가능한 스핀 모델 및 상호작용하는 보존을 이용한 수치적 검증을 제공한다.

제안 방법

• 열장 이중 상태(TDS)를 열 밀도 행렬의 순수화된 표현으로 사용하여, 유한 온도의 MPS 표현을 가능하게 한다.
• 1+1차원 양자장 이론에서의 복제 기법을 적용하여 TDS에서의 레니 얽힘 엔트로피를 계산한다.
• 원통형 및 다중 접힌 다양체 위에서의 유클리드 경로 적분과 토크 필드를 활용한 TDS의 장 이론적 분석.
• 임계(CFT) 및 가속(질량이 있는 QFT) 시스템에 대해 레니 얽힘 엔트로피 척도를 유도하며, 비가속 시스템의 경우 온도의 역수에 따라 로그적으로 증가함을 보여준다.
• 스핀 체인과 보존 모델에서 잘린 클러스터 전개 및 준정확한 시뮬레이션을 이용한 수치적 검증.
• 주요화 이론을 활용하여 MPS 근사에서 잘라내기 오차와 결합 차원 간의 관계를 유도한 레니 엔트로피의 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 온도 1차원 양자 시스템은 매트릭스 곱 상태를 이용해 고전적 컴퓨터에서 효율적으로 시뮬레이션될 수 있는가?
• RQ2 1차원 시스템에서 유한 온도 조건에서 열장 이중 상태의 레니 얽힘 엔트로피는 어떤 척도를 따르는가?
• RQ3 열 상태의 정확한 MPS 표현을 위해 필요한 결합 차원은 온도의 역수에 대해 다항식적으로 증가하는가?
• RQ4 가속 및 비가속 1차원 시스템에서 열장 이중 상태의 얽힘 구조는 어떻게 다른가?
• RQ5 적분 가능하고 비적분 가능한 모델에서 엔트로피 척도에 대한 분석 예측은 수치적으로 확인될 수 있는가?

주요 결과

• 비가속 1차원 시스템에서 열장 이중 상태의 레니 얽힘 엔트로피는 $ S_{\beta} \sim \frac{c}{6}(1+1/\alpha)\log\beta $ 와 같이 온도의 역수에 대해 로그적으로 증가하며, 여기서 $ c $ 는 중심 전하이다.
• 가속 1차원 시스템의 경우 레니 얽힘 엔트로피는 면적 법칙을 따르며, MPS 표현에서 필요한 결합 차원은 시스템 크기와 온도의 역수에 영향을 받지 않는다.
• 비가속 시스템의 경우 결합 차원 $ D $ 는 온도의 역수에 대해 다항식적으로 증가하며, $ D = \mathcal{O}(\beta^{\lambda}) $ 와 같이 표현되며, $ \lambda = \frac{c}{6}(1+1/\alpha) $ 이다. 이는 효율적 고전적 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 열장 이중 상태는 시스템 크기에 따라 증가하지 않는 결합 차원을 가진 매트릭스 곱 상태로 충실하게 표현될 수 있다.
• 스핀 체인과 상호작용하는 보존의 수치적 시뮬레이션은 엔트로피가 온도의 역수에 대해 예측된 로그 척도를 따름을 확인한다.
• 주어진 근사 오차에 대해 필요한 결합 차원을 추정할 수 있는 레니 엔트로피의 하한이 유도되었으며, $ D $ 는 주어진 잘라내기 오차 $ \epsilon $ 에 대해 $ \mathcal{O}((D-1)^{1-\alpha}\epsilon^{\alpha}) $ 와 같이 척도가 정해진다.