[논문 리뷰] One-dimensional Schr\"odinger operators with $\delta'$-interactions on a set of Lebesgue measure zero

Johannes F. Brasche, Л. П. Нижник|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 12.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Lebesgue 측도가 0인 임의의 닫힌 집합 $\Gamma$ 위에서 $\delta'$-상호작용을 가진 일차원 슈뢰딩거 연산자에 대한 추상적 프레임워크를 제안한다. 이는 $\Gamma$의 음의 상호작용 강도를 가진 고립점의 수 이상의 음의 고유값을 가진다는 것을 보여준다. $\Gamma$에 Radon 측도가 부여된 경우, 무한히 많은 음의 고유값을 가진 명시적 예제를 구성한다.

ABSTRACT

We give an abstract definition of a one-dimensional Schr\"odinger operator with $\delta'$-interaction on an arbitrary set~$\Gamma$ of Lebesgue measure zero. The number of negative eigenvalues of such an operator is at least as large as the number of those isolated points of the set~$\Gamma$ that have negative values of the intensity constants of the $\delta'$-interaction. In the case where the set~$\Gamma$ is endowed with a Radon measure, we give constructive examples of such operators having an infinite number of negative eigenvalues.

연구 동기 및 목표

• . Lebesgue 측도가 0인 임의의 닫힌 집합 $\Gamma$ 위에서 $\delta'$-상호작용을 가진 자기수반 슈뢰딩거 연산자를 정의한다.
• . 음의 강도 상수를 가진 고립점의 수에 기반하여 음의 고유값의 수에 대한 하한을 확립한다.
• . $\Gamma$에 Radon 측도가 부여된 경우, 무한히 많은 음의 고유값을 가진 이러한 연산자의 명시적 예제를 구성한다.
• . Green 함수와 Radon 측도를 사용하여 최소 연산자 $L_{\min,\Gamma}$의 부족 부분공간을 특성화한다.
• . $E_4$ 공간에서 경계 데이터에 작용하는 유니터리 행렬을 통해 자기수반 확장의 완전한 분류를 제공한다.

제안 방법

• . 대칭 연산자의 자기수반 확장을 다루는 이론을 사용하며, 특히 최소 연산자 $L_{\min,\Gamma}$의 부족 부분공간을 다룬다.
• . $\Gamma$의 점에서의 경계값 공간 $E_4$에 작용하는 유니터리 행렬 $U$를 통해 정의된 경계 조건을 활용하며, 점 상호작용 모델을 일반화한다.
• . 경계 형식 $\omega(\Gamma\psi, \Gamma\phi)$를 대칭 및 반대칭 부분 $\hat{\Gamma}_1, \hat{\Gamma}_2$로 표현하여 일반적인 자기수반 조건을 유도한다.
• . $z \in \mathbb{C} \setminus [0, \infty)$에 대해 $g_z(x) = \frac{i}{2\sqrt{z}} e^{i\sqrt{z}|x|}$인 Green 함수를 사용하여 부족 부분공간 $N_{z,\Gamma}$를 특성화한다.
• . $\Sigma_1, \Sigma_2$에 대해 지지 조건을 갖는 $M_\Gamma$의 원소인 $\mu$에 대해, $g_z * \mu$와 그 도함수를 이용하여 부족 부분공간의 전체 부분집합을 구성한다.
• . Sobolev 공간에서의 스펙트럼 합성과 점근 수렴 정리를 적용하여, $N_{z,\Gamma}$ 안에서 특정 함수 집합의 조밀성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . Lebesgue 측도가 0인 임의의 닫힌 집합 $\Gamma$ 위에서 $\delta'$-상호작용을 가진 일차원 슈뢰딩거 연산자의 일반적인 추상적 정의는 무엇인가?
• RQ2 . 이러한 연산자의 음의 고유값의 수는 $\Gamma$의 음의 강도 상수를 가진 고립점의 수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 . $\Gamma$에 Radon 측도가 부여된 경우, 무한히 많은 음의 고유값을 가진 이러한 연산자의 명시적 예제를 구성할 수 있는가?
• RQ4 . 최소 연산자 $L_{\min,\Gamma}$의 부족 부분공간의 구조는 무엇이며, Green 함수와 측도를 통해 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ5 . 함수 집합 $\{g_z(x - \gamma)\} \cup \{g_z'(x - \gamma)\}$이 부족 부분공간 $N_{z,\Gamma}$에서 전체인가의 조건은 무엇인가?

주요 결과

• . $\delta'$-상호작용 연산자 $L_{\Gamma,\delta'}$의 음의 고유값의 수는 음의 강도 상수를 가진 $\Gamma$의 고립점의 수 이상이다.
• . $\Gamma$에 Radon 측도가 부여된 경우, 논문은 $L_{\Gamma,\delta'}$가 무한히 많은 음의 고유값을 가진 명시적 예제를 구성한다.
• . 부족 부분공간 $N_{z,\Gamma} = \text{ran}(L_{\min,\Gamma} - z)^\perp$ 는 $\{g_z * \mu : \mu \in M_\Gamma\} \cup \{(g_z * \nu)' : \nu \in M_\Gamma\}$의 스칼라 곱의 닫힘으로서 표현되며, 여기서 $M_\Gamma$는 $\Gamma$에 컴actsupport를 갖는 양의 Radon 측도의 집합이다.
• . $\{g_z(x - \gamma) : \gamma \in \Sigma_1\} \cup \{g_z'(x - \gamma) : \gamma \in \Sigma_2\}$는 $N_{z,\Gamma}$에서 전체일 조건은 $\Sigma_1$이 $\Gamma$에 밀도를 가지며 $\Sigma_2$가 $\Gamma$의 모든 고립점을 포함할 때이다.
• . 주어진 $\delta'$-상호작용 연산자 $A$에 대해, $A$와 자유 해밀토니안 $SU$가 $\text{ran}(T + i)^\perp$ 안에서 일차원 직교 여부를 갖는 공통의 제약 조건을 가질 경우, 음의 고유값의 수(중복도 포함)는 최대 하나이다.
• . 자유 해밀토니안을 실현하는 유니터리 사상 $U$는 모든 $\mu \in M_\Gamma$에 대해 $U(g_{-i} * \mu) = -g_i * \mu$ 및 $U((g_{-i} * \mu)') = -(g_i * \mu)'$를 만족한다.