[논문 리뷰] One-dimensional swimmers in viscous fluids: dynamics, controllability, and existence of optimal controls

Gianni Dal Maso, Antonio DeSimone외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 04.

Micro and Nano Robotics참고 문헌 30인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 점성 유체 내에서 1차원 수영자에 대한 운동의 존재성과 유일성을 확립하고, 이동, 회전, 펴기 등의 기본 동작 조합을 통한 제어 가능성(Controllability)을 증명하며, 에너지 소비를 최소화하는 최적 제어의 존재를 보여준다. 결과들은 형태 기반 운동의 동역학을 기술하는 상미분방정식(OEDs)과 최적 제어를 위한 변분법에 의해 도출된다.

ABSTRACT

In this paper we study a mathematical model of one-dimensional swimmers performing a planar motion while fully immersed in a viscous fluid. The swimmers are assumed to be of small size, and all inertial effects are neglected. Hydrodynamic interactions are treated in a simplified way, using the local drag approximation of resistive force theory. We prove existence and uniqueness of the solution of the equations of motion driven by shape changes of the swimmer. Moreover, we prove a controllability result showing that given any pair of initial and final states, there exists a history of shape changes such that the resulting motion takes the swimmer from the initial to the final state. We give a constructive proof, based on the composition of elementary maneuvers (straightening and its inverse, rotation, translation), each of which represents the solution of an interesting motion planning problem. Finally, we prove the existence of solutions for the optimal control problem of finding, among the histories of shape changes taking the swimmer from an initial to a final state, the one of minimal energetic cost.

연구 동기 및 목표

• 점성 유체 내에서 관성 효과를 무시하고 저항력 이론을 사용하여 1차원 수영자의 동역학을 모델링하고 분석한다.
• 주어진 형태 변화에 의해 유도되는 운동 방정식의 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 제어 가능성 증명: 임의의 초기 및 최종 구성이 주어질 때, 형태 경로를 통해 수영자가 그 사이를 이동할 수 있음을 보인다.
• 시간 간격 동안 소비되는 에너지를 최소화하는 에너지 효율적인 수영 전략의 존재를 보여준다.
• 이동, 회전, 펴기 등의 기본 동작을 사용하여 운동 계획을 구성적으로 제공한다.

제안 방법

• 수영자를 곡선 길이 기반의 1차원 몸체로 모델링하고, 몸체 고정 기준에서 시간에 따라 변화하는 함수 ξ(s,t)로 형태 변화를 기술한다.
• 전체 운동 χ(s,t) = r(t) ◦ ξ(s,t)로 표현하며, 여기서 r(t)는 실험 기준에서의 강체 운동(이동 및 회전)을 나타낸다.
• 저항력과 토크의 합이 0이 되도록 조건을 부여하여 r(t)에 대한 상미분방정식 시스템을 유도하고, 주어진 형태 함수 ξ(s,t)에 따라 r(t)의 운동 방정식을 도출한다.
• ξ(s,t)에 대한 정규성 조건을 만족할 경우, 표준 상미분방정식 이론을 사용하여 r(t)의 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 이동, 반전 펴기, 회전, 이동 등의 기본 동작으로 분해하여 제어 가능성을 구성적으로 증명한다. 각각은 별개의 운동 계획 문제로 해결된다.
• 에너지 기능 P(χ) = ∫∫ ⟨Kχ ˙χ, ˙χ⟩ ds dt 에 변분법을 적용하고, 약한 수렴과 컴act 임bedding을 사용하여 극한으로의 전환을 가능하게 하여, 적절한 함수 공간 내에서 최소화자의 존재를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점성 유체 내에서 주어진 형태 변화의 시간 이력에 따라 1차원 수영자의 운동이 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 관성 효과가 무시 가능한 조건 하에서, 어떤 초기 구성에서도 형태 변화만으로 수영자를 임의의 최종 구성으로 이동시킬 수 있는가?
• RQ3 두 구성 사이를 연결하는 모든 가능한 형태 경로 중에서 에너지 소비를 최소화하는 수영 자세를 찾을 수 있는가?
• RQ4 운동 방정식의 잘 정의됨을 보장하기 위한 형태 함수에 대한 최소 정규성 조건은 무엇인가?
• RQ5 운동 계획 문제는 어떻게 기본 동작들로 분해되어 전역 제어 가능성을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 형태 변화에 따라 유도되는 1차원 수영자의 운동은 상미분방정식 시스템에 의해 유일하게 결정되며, 이는 잘 정의된 동역학을 보장한다.
• 제어 가능성은 구성적으로 확립되었다: 임의의 초기 구성에서 최종 구성으로의 이동이 펴기, 반전 펴기, 회전, 이동 등의 기본 동작 조합을 통해 가능하다.
• 에너지 소비를 최소화하는 최적 제어 문제의 해는 반경 ρ인 외부 디스크 조건을 만족하는 H1 함수 공간 내에 존재한다.
• 에너지 기능의 최소화 수열은 H1(0,T;L2(0,L))에서 약한 수렴을 보이며, 각 시간에 대해 C1([0,L])에서 강한 수렴을 보인다. 이는 力과 토크 균형 방정식에서 극한으로의 전환을 가능하게 한다.
• 극한 함수는 力과 토크 균형 조건을 만족하며 에너지 기능을 최소화하므로 최적 수영 전략의 존재를 증명한다.
• 에너지 기능은 속도의 L2 노름에 비례하는 Cτ 상한선을 가진다. Ioffe-Olech 반연속성 정리와 컴팩트 임베딩을 통해 최소화자의 존재가 증명된다.