[논문 리뷰] One generator $(1+u)$-quasi twisted codes over $F_2+uF_2$

Jian Gao, Qiong Kong|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 30.

Coding theory and cryptography인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $F_2 + uF_2$에서 $u^2 = 0$인 한에서, 한 생성자(one-generator) $(1+u)$-준비틀링 (QT) 코드의 세 유형에 대한 최소 생성 집합을 제시하고, 특수한 $A_2$-유형 코드에 대해 최소 레이 거리의 하한을 설정한다. 그레이 맵을 통해 이러한 코드들은 최적 또는 준최적의 선형 코드들 $F_2$로 이어지며, 예를 들어 $[12,5,4]$, $[18,2,12]$, $[24,3,12]$ 코드를 포함한다.

ABSTRACT

This paper gives the minimum generating sets of three types of one generator $(1+u)$-quasi twisted (QT) codes over $F_2+uF_2$, $u^2=0$. Moreover, it discusses the generating sets and the lower bounds on the minimum Lee distance of a special class of $A_2$ type one generator $(1+u)$-QT codes. Some good (optimal or suboptimal) linear codes over $F_2$ are obtained by these types of one generator $(1+u)$-QT codes.

연구 동기 및 목표

• 한 생성자 $(1+u)$-준비틀링 코드의 세 유형에 대해 $F_2 + uF_2$에서의 최소 생성 집합을 결정한다.
• $A_2$-유형 $(1+u)$-QT 코드의 구조적 성질을 분석하고, 그 최소 레이 거리에 대한 하한을 도출한다.
• 이 $(1+u)$-QT 코드들로부터 그레이 맵을 사용하여 $F_2$에서 좋은 선형 코드를 구성한다.
• 다항수 이상수와 모듈로 환형 사상의 관계를 통해 $A_1$, $A_2$, $B$-유형 코드의 명시적 구성과 생성 집합을 제공한다.
• 그레이 등장사상에 의해 생성된 코드들이 $F_2$-선형 코드에서 최적 또는 준최적의 성능을 달성함을 보여준다.

제안 방법

• 반환 $R = F_2 + uF_2$를 사용하고 $u^2 = 0$이며, 코드들을 $S_n^l = R[x]/(x^n - (1+u))^l$의 $R[x]$-부모구조로 모델링한다.
• 등장사상 $\rho: R^N \to S_n^l$을 적용하여 한 생성자 $(1+u)$-준비틀링 코드를 $C = (f_0(x), \dots, f_{l-1}(x))$로 표현하며, $f_j(x) \in S_n$이다.
• 모듈로 환형 사상 $\psi_i$를 사용하여 $C$를 $S_n$ 내의 개별 $(1+u)$-순환 코드로 사영하고, $C$를 $A_1$, $A_2$, 또는 $B$ 유형으로 분류한다.
• 최대공약수와 다항식 나눗셈을 통해 최소 생성 집합을 도출한다: $A_1$ 유형의 경우, $S_1 = \{G, xG, \dots, x^{r-1}G\}$ 및 $S_2 = \{F, xF, \dots, x^{n-r-1}F\}$이며, $F = \{uf_0, \dots, uf_{l-1}\}$이다.
• $A_2$-유형 코드의 경우, 조건 $\gcd(f_i, (x^n-1)/g) = 1$이 만족될 때, 생성 집합이 $\{G, xG, \dots, x^{r-1}G\}$임을 증명한다. 여기서 $G = (ugf_0, \dots, ugf_{l-1})$이다.
• 그레이 맵 $\phi$를 적용하여 $R$ 위의 코드를 이진 선형 코드로 변환하고, 레이 거리를 해밍 거리로 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한 생성자 $(1+u)$-준비틀링 코드의 세 유형에 대해 $F_2 + uF_2$에서 최소 생성 집합은 무엇인가?
• RQ2 $A_2$-유형 $(1+u)$-QT 코드의 최소 레이 거리를 어떻게 하한으로 제시할 수 있는가?
• RQ3 한 생성자 $(1+u)$-준비틀링 코드가 그레이 맵을 통해 $F_2$에서 최적 또는 준최적의 선형 코드를 생성할 수 있는가?
• RQ4 $A_1$, $A_2$, $B$-유형 코드의 생성 집합이 최소이고 선형 독립이 되도록 보장하는 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ5 생성 다항식 $g(x)$, $f_i(x)$, $h(x)$의 대수적 성질이 코드의 크기와 최소 거리에 어떻게 영향을 주는가?

주요 결과

• $A_1$-유형 한 생성자 $(1+u)$-준비틀링 코드의 최소 생성 집합은 $S_1 \cup S_2$이며, 여기서 $S_1 = \{G, xG, \dots, x^{r-1}G\}$, $S_2 = \{F, xF, \dots, x^{n-r-1}F\}$이며, $r = \deg h$이고 $h = (x^n - 1)/g$이다.
• $A_2$-유형 코드의 최소 생성 집합은 $\{G, xG, \dots, x^{r-1}G\}$이며, $G = (ugf_0, \dots, ugf_{l-1})$이고, 모든 $i$에 대해 $\gcd(f_i, (x^n-1)/g) = 1$이 성립한다.
• $A_2$-유형 코드의 최소 레이 거리는 $d_L(C) \geq l \cdot d_L(\widetilde{C})$를 만족하며, 여기서 $\widetilde{C} = (ug)$이며, 예시에서 등호가 성립한다.
• $n=3$, $l=2$, $g_0 = x+1$, $g_1 = x^2+1$인 $A_1$-유형 코드는 그레이 맵을 통해 $F_2$에서 $[12,5,4]$ 선형 코드를 생성하며, 이는 최적이다.
• $n=3$, $l=3$, $g=x+1$, $f_0 = x^3+x+1$, $f_1 = x^3+x^2+1$, $f_2 = 1$인 $A_2$-유형 코드는 그레이 맵을 통해 $F_2$에서 $[18,2,12]$ 코드를 생성하며, 이는 최적이다.
• $n=9$, $l=2$, $g=(x+1)(x^6+x^3+1)$, $q_0=x$, $q_1=x+x^2$인 $B$-유형 코드는 그레이 맵을 통해 $F_2$에서 $[36,10,8]$ 선형 코드를 생성한다.