[논문 리뷰] One level density of low-lying zeros of quadratic and quartic Hecke $L$-functions

Peng Gao, Liangyi Zhao|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 05.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 34인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 가우스 수체 $\mathbb{Q}(i)$ 위의 이차 및 사차 헤케 $L$-함수의 낮은 임계점 근처의 영점에 대한 일차 밀도 결과를 확립한다. 이중 차원 파면 합성과 캐릭터 합 추정을 이용하여, 이차 가족의 최소 94.27% 및 사차 가족의 최소 5%가 중심점에서 영이 아니라는 것을 증명하며, 이는 이 가족들이 심플렉틱 대칭 구조에서 카츠-사르나크 밀도 추측을 지지한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove some one level density results for the low-lying zeros of famliies of quadratic and quartic Hecke $L$-functions of the Gaussian field. As corollaries, we deduce that, respectively, at least $94.27 \%$ and $5\%$ of the members of the quadratic family and the quartic family do not vanish at the central point.

연구 동기 및 목표

• 가우스 수체 위의 이차 및 사차 헤케 $L$-함수 가족에 대해 카츠-사르나크 밀도 추측을 확장하기 위해.
• 이 가족들 내에서 낮은 임계점 근처의 영점 분포를 일차 밀도 분석을 통해 규명하기 위해.
• 각 가족 내 $L$-함수의 양의 비율에서 중심점에서의 비영 결과를 확립하기 위해.
• 고차원 파면 합성 기법을 적용하여 캐릭터 합 추정을 향상시키고, 밀도 공식 내 시험 함수의 지지 범위를 연장하기 위해.
• 이 가족들이 무작위 행렬 이론 예측과 일치하는 심플렉틱 대칭을 나타냄을 확인하기 위해.

제안 방법

• 유한 공식을 이용하여 가우시안 정수환 $\mathbb{Z}[i]$ 내의 소 이상수에 대한 영점 합을 소 이상수에 대한 합으로 변환한다.
• 이중 차원 파면 합성 기법을 $\mathbb{Z}[i]$에 적용하여 사차 및 이차 잔여 기호를 포함한 캐릭터 합을 변환하고 추정한다.
• 부드러운 절단 함수와 매일라 변환을 사용한 가중 합을 도입하여, 밀도 추적 공식 내의 진동하는 항을 다룬다.
• 부분 합성과 $\mathbb{Z}[i]$ 내 이상수 위에서의 지수 합에 대한 추정을 통해 캐릭터 합 $S_M(X,Y;\hat{\phi},\Phi)$를 추정한다.
• 파면 합성에서 유도된 쌍대 격자 구조를 활용하여 캐릭터 합의 길이를 단축시켜 오차 제어를 향상시킨다.
• $\tilde{W}$-함수와 부드러운 가중 함수를 적용하여 합을 국소화하고 매개변수 $X$에 대해 균일하게 오차 항을 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가우스 수체 $\mathbb{Q}(i)$ 위의 이차 및 사차 헤케 $L$-함수 가족에 대해 낮은 임계점 근처의 영점에 대한 일차 밀도는 무엇인가?
• RQ2 이 $L$-함수의 영점 분포는 심플렉틱 군 $\mathrm{USp}$에 대한 무작위 행렬 이론의 예측과 어느 정도 일치하는가?
• RQ3 이 가족 내 $L$-함수의 어느 비율이 중심 임계점에서 영이 아니게 되는가?
• RQ4 고차원 파면 합성 기법은 일차 밀도 결과 내 시험 함수의 푸리에 변환의 지지 범위를 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 일반화된 리만 가설을 가정하지 않고도 이 가족들 내에서 일차 밀도에 대한 조건 없는 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 가우스 수체 $\mathbb{Q}(i)$ 위의 이차 헤케 $L$-함수 가족에 대해 낮은 임계점 근처의 영점에 대한 일차 밀도는 $X \to \infty$일 때 심플렉틱 밀도 커널 $W_{\mathrm{USp}}(x) = 1 - \frac{\sin(2\pi x)}{2\pi x}$로 수렴하며, 이는 심플렉틱 대칭을 확인한다.
• 사차 헤케 $L$-함수 가족의 경우에도 일차 밀도는 동일한 심플렉틱 커널로 수렴하여 동일한 대칭 유형을 나타낸다.
• 이차 가족의 최소 94.27%가 중심점에서 영이 아니며, 이는 일차 밀도 결과로부터 유도된다.
• 사차 가족의 최소 5%가 중심점에서 영이 아니며, 이는 일차 밀도 분석의 따름정리이다.
• 개선된 캐릭터 합 추정을 통해 일차 밀도 공식 내 시험 함수의 푸리에 변환의 지지 범위가 이차 가족의 경우 $(-2,2)$로 연장되었고, 사차 가족의 경우도 유사한 범위로 연장되었다.
• 오차 항이 $U = \log \log X$ 및 $Z = \log^5 X$일 때 $o(X \log X)$임을 보여, 예상되는 밀도로의 수렴이 보장된다.