[논문 리뷰] One Ring to Rule Them All: Certifiably Robust Geometric Perception with Outliers

Heng Yang, Luca Carlone|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 11.

Robotics and Sensor-Based Localization인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 다항 최적화로 재구성된 절단 최소 제곱법(TLS) 추정을 통해 고 outlier 비율 하에서 처음으로 일반적이고 실용적인 보증 가능 강건 기하 인식 프레임워크를 제안한다. 라서레의 모멘트 이완과 기저 감소, 도우거스-라흐포드 분할을 활용한 이중 증명을 통해 대규모에서 전역 최적성 보장을 달성하며, 정확도, 강건성, 확장성 측면에서 히우리스틱 및 이전의 이완 방법을 능가한다. 최대 100개의 측정값까지 적용 가능하다.

ABSTRACT

We propose the first general and practical framework to design certifiable algorithms for robust geometric perception in the presence of a large amount of outliers. We investigate the use of a truncated least squares (TLS) cost function, which is known to be robust to outliers, but leads to hard, nonconvex, and nonsmooth optimization problems. Our first contribution is to show that -for a broad class of geometric perception problems- TLS estimation can be reformulated as an optimization over the ring of polynomials and Lasserre's hierarchy of convex moment relaxations is empirically tight at the minimum relaxation order (i.e., certifiably obtains the global minimum of the nonconvex TLS problem). Our second contribution is to exploit the structural sparsity of the objective and constraint polynomials and leverage basis reduction to significantly reduce the size of the semidefinite program (SDP) resulting from the moment relaxation, without compromising its tightness. Our third contribution is to develop scalable dual optimality certifiers from the lens of sums-of-squares (SOS) relaxation, that can compute the suboptimality gap and possibly certify global optimality of any candidate solution (e.g., returned by fast heuristics such as RANSAC or graduated non-convexity). Our dual certifiers leverage Douglas-Rachford Splitting to solve a convex feasibility SDP. Numerical experiments across different perception problems, including single rotation averaging, shape alignment, 3D point cloud and mesh registration, and high-integrity satellite pose estimation, demonstrate the tightness of our relaxations, the correctness of the certification, and the scalability of the proposed dual certifiers to large problems, beyond the reach of current SDP solvers.

연구 동기 및 목표

• 고 이상치 비율 하에서 일반적이고 확장 가능하며 보증 가능한 알고리즘의 부족을 해결한다.
• 절단 최소 제곱법(TLS) 추정에서의 비볼록성, 비연속성, 대규모 계산 문제에 도전한다.
• 이상치가 있는 기하 인식 문제에 대해 전역 최적성 보장을 제공하는 프레임워크를 개발하여 안전 중심 응용을 가능하게 한다.
• 이중 증명자와 희박성 활용을 통해 표준 SDP 솔버가 다룰 수 없는 범위까지 확장 가능성을 확보한다.
• 히우리스틱 솔루션(예: RANSAC 또는 GNC)의 정확성을 수학적으로 엄밀하게 검증할 수 있는 방법을 제공한다.

제안 방법

• 다항식의 링 위에서 TLS 기반 기하 인식 문제를 다항 최적화 문제로 재구성한다.
• 다항식 표현에 대해 라서레의 볼록 모멘트 이완 계층을 적용하여 최소한의 이완 순서에서 경험적으로 타이트함을 증명한다.
• 다항식 목표 함수 및 제약 조건의 구조적 희박성을 활용한 기저 감소 기법을 도입하여, 이완의 타이트함을 유지하면서도 세미정적계획법(SDP) 크기를 극적으로 감소시킨다.
• 합의 제곱(SOS) 이완과 도우거스-라흐포드 분할을 활용한 이중 최적성 증명자(이중 증명자)를 개발하여 볼록 타당성 SDP 문제를 풀어 전역 최적성의 대규모 검증을 가능하게 한다.
• 이중 증명자로부터 유도된 이중 갭을 활용해 부분 최적성 한계를 계산하고 후보 솔루션의 전역 최적성 여부를 검증한다.
• 빠른 히우리스틱(예: RANSAC, GNC)과 프레임워크를 통합하여 해의 후행 검증을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하 인식에서 절단 최소 제곱법(TLS) 추정은 보증 가능한 이완에 적합한 다항 최적화 문제로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 이상치가 있는 TLS 문제에 대해 라서레의 모멘트 이완 계층이 최소한의 이완 순서에서 타이트한 경계를 제공하는가?
• RQ3 다항식 표현에서의 구조적 희박성은 기저 감소를 통해 SDP 크기를 줄이면서도 이완의 타이트함을 유지할 수 있는가?
• RQ4 SOS 이완과 도우거스-라흐포드 분할 기반의 이중 증명자가 표준 SDP 솔버가 실패하는 대규모 기하 인식 문제(N = 100 등)에까지 확장 가능한가?
• RQ5 제안된 이중 증명자가 악성 이상치 조건 하에서도 전역 최적 솔루션을 정확히 식별하고 부분 최적 솔루션을 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 라서레의 계층을 통한 제안된 원본 이완은 최소한의 이완 순서에서 경험적으로 타이트하며, TLS 비용 함수를 가진 기하 인식 문제의 광범위한 클래스에 대해 전역 최적성 보장을 한다.
• 기저 감소 기법은 SDP 크기를 극적으로 감소시켜, 표준 SDP 솔버가 다룰 수 없는 범위까지 확장 가능한 문제(최대 100개의 측정값)를 해결할 수 있게 한다.
• 도우거스-라흐포드 분할을 활용한 이중 증명자는 확장성과 함께 정확한 전역 최적성 증명을 달성하며, 히우리스틱 방법(예: KS 검정)과 달리 솔루션 정확성 검증에서 거짓 양성 또는 거짓 음성 없이 정확하게 작동한다.
• 단일 회전 평균화 문제에서 제안된 방법은 GNC(히우리스틱) 및 코르달 희박 SDP 기반 방법보다 이상치 비율이 73%까지 정확도와 강건성 측면에서 뛰어나다.
• 악성 모델 하에서도 50% 이상의 이상치 비율 조건에서 프레임워크는 여전히 타이트하며, 진짜 해가 가장 일관성 있는 해가 아니더라도 전역 최적성 보장을 한다.
• 3D 포인트 클라우드 정렬, 메쉬 정렬, 위성 자세 추정 문제에 대한 수치 실험을 통해 검증의 정확성과 현실적 문제 크기까지의 확장 가능성을 확인했다.