[논문 리뷰] One-Step Stochastic Processes Simulation Software Package

Ekaterina G. Eferina, Anna V. Korolkova외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 25.

Aquatic and Environmental Studies참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 컴퓨터 대수(FriCAS/Axiom)와 수치 언어(Fortran, Julia)를 사용하여 확률적 일보 과정의 구축과 수치 시뮬레이션을 자동화하는 소프트웨어 패키지를 제시한다. 마스터 방정식 원리에서 확률적 미분 방정식(SDE)을 생성하고, 확률적 룬게쿠타 방법을 통해 수치 분석을 가능하게 하며, 확률적 성향으로 인해 한 종이 멸종하는 포식자-피식자 모델에서 성능을 검증하였다. 이는 결정론적 모델과의 일致성을 입증한다.

ABSTRACT

Background. It is assumed that the introduction of stochastic in mathematical model makes it more adequate. But there is virtually no methods of coordinated (depended on structure of the system) stochastic introduction into deterministic models. Authors have improved the method of stochastic models construction for the class of one-step processes and illustrated by models of population dynamics. Population dynamics was chosen for study because its deterministic models were sufficiently well explored that allows to compare the results with already known ones. Purpose. To optimize the models creation as much as possible some routine operations should be automated. In this case, the process of drawing up the model equations can be algorithmized and implemented in the computer algebra system. Furthermore, on the basis of these results a set of programs for numerical experiment can be obtained. Method. The computer algebra system Axiom is used for analytical calculations implementation. To perform the numerical experiment FORTRAN and Julia languages are used. The method Runge--Kutta method for stochastic differential equations is used as numerical method. Results. The program compex for creating stochastic one-step processes models is constructed. Its application is illustrated by the predator-prey population dynamic system. Conclusions. Computer algebra systems are very convenient for the purposes of rapid prototyping in mathematical models design and analysis.

연구 동기 및 목표

• 첫 원칙에서 확률적 일보 과정 모델의 자동화된 구축을 목표로 하여, SDE의 수작업 유도를 줄이기 위함.
• 분석적 모델 기술을 실행 가능한 수치 코드로 변환하는 소프트웨어 파이프라인 개발을 목표로 하기 위함.
• 컴퓨터 대수 시스템과 수치 해법기 간의 통합을 통해 인구 역학 분야에서의 확률적 모델 프로토타이핑을 효율적으로 수행하기 위함.
• 유명한 포식자-피식자 시스템에서 확률적 및 결정론적 결과를 비교하여 방법의 일관성을 입증하기 위함.

제안 방법

• 방법은 마스터 방정식을 기반으로 확률적 모델링을 하며, 이에 대응하는 포크너-플랭크 및 SDE 표현을 유도한다.
• SDE의 비율(A^i) 및 분산(B^{ij}) 계수를 기호적으로 유도하기 위해 컴퓨터 대수 시스템(FriCAS, Axiom에서 파생됨)을 사용한다.
• SDE 계수는 텍스트 파일로 출력되어 Fortran 및 Julia 코드 생성에 사용된다.
• 소수값 분해(LAPACK의 DGESVD)를 통해 B^{ij}에서 행렬 b^i_α를 계산하여 소음 구조를 정의한다.
• 파이썬 스크립트를 사용해 SDE 함수 모듈 및 메인 프로그램의 코드 생성을 자동화하고, 확률적 룬게쿠타 방법을 통합한다.
• 수치 실험은 변수 순서의 룬게쿠타 스킴을 사용하여 SDE를 해결하며, 음수 인구 수치를 방지하기 위한 제약 조건이 적용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴퓨터 대수를 활용하여 일보 확률적 과정의 형식화를 체계화하고 자동화할 수 있는가?
• RQ2 마스터 방정식 기반 모델을 고성능 언어에서 실행 가능한 SDE 코드로 변환하는 소프트웨어 파이프라인을 개발할 수 있는가?
• RQ3 결정론적 모델과 확률적 모델 간의 장기적 행동에 어떤 차이가 있는가?
• RQ4 내재된 확률적 성향이 생태 모델에서 종의 지속 가능성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 소프트웨어 패키지는 마스터 방정식에서 SDE 계수를 성공적으로 자동으로 도출하여 수작업 유도의 노력을 줄였다.
• 매개변수 α=10, β=1.5, γ=8.5, δ=1.8일 때, 확률적 모델은 먼저 피식자를 멸종시키며, 이후 식량 부족으로 포식자도 멸종한다.
• δ=0.5일 때, 포식자는 멸종하고 피식자 인구는 급격히 증가하여 모델의 무한한 식량 공급 가정과 일치한다.
• 수치 시뮬레이션은 결정론적 모델에 존재하지 않는 멸종 사건이 확률적 성향에 의해 유도됨을 확인하여, 방법의 생물학적 타당성을 입증하였다.
• 소프트웨어 파이프라인은 기호 표현에서 정확하게 Fortran 및 Julia 코드를 생성하여 효율적인 수치 실험을 가능하게 하였다.