[논문 리뷰] Online Algorithms for Machine Minimization

Nikhil R. Devanur, Konstantin Makarychev외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 03.

Optimization and Search Problems참고 문헌 34인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 단위 길이 작업에 대한 결정론적 온라인 머신 최소화 문제를 해결하며, 최적의 경쟁 비율 $e$ 를 갖는 알고리즘을 제시함으로써 이것이 달성 가능하고 날카로운 상한임을 증명한다. 또한 임의의 작업 길이를 가진 동일한 마감 시간을 가진 작업에 대해 상수 경쟁 비율 알고리즘을 제안하고, 새로운 감소를 통해 정점 가중치 매칭 문제로의 변환을 통해 온라인 스루풋 최대화에 대해 랜덤화된 $\frac{e}{e-1}$-경쟁 비율 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the online version of the machine minimization problem (introduced by Chuzhoy et al., FOCS 2004), where the goal is to schedule a set of jobs with release times, deadlines, and processing lengths on a minimum number of identical machines. Since the online problem has strong lower bounds if all the job parameters are arbitrary, we focus on jobs with uniform length. Our main result is a complete resolution of the deterministic complexity of this problem by showing that a competitive ratio of $e$ is achievable and optimal, thereby improving upon existing lower and upper bounds of 2.09 and 5.2 respectively. We also give a constant-competitive online algorithm for the case of uniform deadlines (but arbitrary job lengths); to the best of our knowledge, no such algorithm was known previously. Finally, we consider the complimentary problem of throughput maximization where the goal is to maximize the sum of weights of scheduled jobs on a fixed set of identical machines (introduced by Bar-Noy et al. STOC 1999). We give a randomized online algorithm for this problem with a competitive ratio of e/e-1; previous results achieved this bound only for the case of a single machine or in the limit of an infinite number of machines.

연구 동기 및 목표

• 단위 길이 작업에 대한 온라인 머신 최소화 문제의 결정론적 경쟁 비율을 해결함으로써, 기존 하한 2.09와 상한 5.2 사이의 격차를 메운다.
• 모든 작업이 동일한 마감 시간을 가지지만 처리 시간이 임의일 경우의 온라인 머신 최소화 문제에 대해 상수 경쟁 비율 알고리즘을 개발한다.
• 고정된 머신 수에서 스루풋 최대화를 위한 랜덤화된 온라인 알고리즘을 제시하며, 경쟁 비율이 $\frac{e}{e-1}$ 임을 보이며, 이전 연구에서 단일 머신 또는 渐近적 설정에서만 이 경쟁 비율을 달성한 바가 있다.
• 단위 길이 작업에 대해 온라인 머신 최소화 문제의 날카로운 상한을 증명함으로써, 상한과 하한 모두 $e$ 를 확립한다.
• 온라인 스루풋 최대화 문제를 온라인 정점 가중치 매칭 문제로의 새로운 감소를 제안함으로써, 매칭 이론을 통한 경쟁 비율 분석이 가능하게 한다.

제안 방법

• 모든 방출된 작업에 대해 오프라인 최적의 머신 수 $k$ 를 기반으로 $\alpha k$ 대의 머신을 사용하여 가용 작업을 가장 빨리 오는 마감일 우선(EDF)으로 스케줄링하는 온라인 알고리즘을 제안한다. 여기서 $\alpha$ 는 경쟁 비율이다.
• 선형 프로그래밍 프레임워크 내에서 원본 및 이중 해의 조합적 해석을 통해 요소 폭 드러내기 접근법을 사용하여 타당성과 경쟁성 분석을 수행한다.
• 온라인 알고리즘이 사용하는 머신 수와 일치하는 명시적 온라인 분수 스케줄링(이중 해)을 구성함으로써 경쟁 비율 분석을 가능하게 한다.
• 동일 마감 시간 케이스에 대해 단계 기반 분석을 수행하며, 시간을 간격으로 나누고 작업 볼륨의 논리적 근거로 활성 머신 수를 제한한다.
• 온라인 스루풋 최대화 문제를 온라인 정점 가중치 이분 매칭 문제로 감소시키기 위해 작업을 오프라인 정점으로, 시간 간격을 온라인 정점으로 매핑한다.
• 유효한 스케줄링과 매칭 사이에 1:1 대응 관계를 설정함으로써, 임의의 매칭이 타당한 스케줄링에 대응하고 그 반대도 성립함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 길이 작업에 대한 온라인 머신 최소화 문제에 대해 최적의 결정론적 경쟁 비율은 무엇인가?
• RQ2 모든 작업이 동일한 마감 시간을 가지지만 처리 시간이 임의일 경우, 온라인 머신 최소화 문제에 대해 상수 경쟁 비율 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 고정된 수의 동일한 머신에서 온라인 스루풋 최대화 문제에 대해 달성 가능한 최고의 경쟁 비율은 무엇인가?
• RQ4 스루풋 최대화 문제를 기존의 알려진 온라인 매칭 문제로 감소시킬 수 있으며, 경쟁 비율은 유지되는가?
• RQ5 단위 길이 작업 스케줄링에 대해 경쟁 비율 $e$ 는 날카로운 상한인가? 그리고 이 경쟁 비율을 달성할 수 있으며 하한으로도 일치하는가?

주요 결과

• 논문은 단위 길이 작업에 대해 경쟁 비율 $e$ 를 갖는 결정론적 온라인 알고리즘을 확립하였으며, 이는 최적의 해법으로서 오랫동안 열려있던 문제를 해결한다.
• 모든 결정론적 알고리즘에 대해 단위 길이 작업 환경에서 $e$ 의 하한이 증명되었으며, 이는 더 나은 경쟁 비율을 달성할 수 없음을 시사한다.
• 동일 마감 시간과 임의의 작업 길이를 가진 경우에 대해, 이전에는 알려지지 않았던 결정론적 알고리즘을 제안하며 상수 경쟁 비율을 달성한다.
• 스루풋 최대화를 위한 랜덤화된 온라인 알고리즘을 개발하였으며, 경쟁 비율이 $\frac{e}{e-1}$ 로, 이는 기존 최고 수준의 경쟁 비율을 유지하지만 이제는 유한한 수의 머신에 대해 적용 가능하다.
• 온라인 스루풋 최대화 문제를 온라인 정점 가중치 매칭 문제로의 감소 과정에서 경쟁 비율이 유지되며, 기존의 랜덤화된 원본-이중 기법의 활용이 가능해진다.
• 분석 결과, 각 단계에서 장기 및 단기 작업의 작업 볼륨이 오프라인 해의 용량으로 제한되며, 이로 인해 단계당 최대 $8 \times \text{Offline} + 1$ 대의 머신이 사용됨을 보여주며, 이는 상수 경쟁 비율을 뒷받침한다.