[논문 리뷰] Online and Dynamic Algorithms for Geometric Set Cover and Hitting Set

Arindam Khan, Aditya Lonkar외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Optimization and Search Problems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기하적 셋 커버 및 히팅 세트에 대해 다항로그 경쟁비와 업데이트 시간을 갖는 최초의 온라인 및 동적 알고리즘을 제시한다. O(log n)-경쟁비를 갖는 온라인 알고리즘을 얻기 위해 새로운 큐브트리 기반 분해 및 주파수 감소 기법을 도입하여 정사각형에 대해 O(log n)-경쟁비를, 초직사각형에 대해 O(log N)-경쟁비를 갖는 알고리즘을 설계하였으며, d차원 초직사각형에 대해 다항로그 업데이트 시간과 (log m)^O(d)-근사비를 갖는 동적 알고리즘을 제시하였다. 이는 Chan 등(SODA'22)이 제기한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Set cover and hitting set are fundamental problems in combinatorial optimization which are well-studied in the offline, online, and dynamic settings. We study the geometric versions of these problems and present new online and dynamic algorithms for them. In the online version of set cover (resp. hitting set), $m$ sets (resp.~$n$ points) are give $n$ points (resp.~$m$ sets) arrive online, one-by-one. In the dynamic versions, points (resp. sets) can arrive as well as depart. Our goal is to maintain a set cover (resp. hitting set), minimizing the size of the computed solution. For online set cover for (axis-parallel) squares of arbitrary sizes, we present a tight $O(\log n)$-competitive algorithm. In the same setting for hitting set, we provide a tight $O(\log N)$-competitive algorithm, assuming that all points have integral coordinates in $[0,N)^{2}$. No online algorithm had been known for either of these settings, not even for unit squares (apart from the known online algorithms for arbitrary set systems). For both dynamic set cover and hitting set with $d$-dimensional hyperrectangles, we obtain $(\log m)^{O(d)}$-approximation algorithms with $(\log m)^{O(d)}$ worst-case update time. This partially answers an open question posed by Chan et al. [SODA'22]. Previously, no dynamic algorithms with polylogarithmic update time were known even in the setting of squares (for either of these problems). Our main technical contributions are an \emph{extended quad-tree }approach and a \emph{frequency reduction} technique that reduces geometric set cover instances to instances of general set cover with bounded frequency.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 기하 객체, 특히 초직사각형에 대해 효율적인 온라인 및 동적 알고리즘이 부족한 문제를 해결한다.
• 일반적인 셋 커버 알고리즘보다 향상된 경쟁비를 갖는 축에 평행한 정사각형에 대해 온라인 알고리즘을 설계한다.
• d차원 초직사각형에 대해 다항로그 업데이트 시간과 근사비를 갖는 동적 알고리즘을 개발하여 Chan 등(SODA'22)이 제기한 열린 질문을 해결한다.
• 2차원 정사각형에서 온라인 셋 커버 및 히팅 세트에 대해 날카로운 경쟁비를 달성하여 알려진 하한값과 일치시킨다.
• 가중치 설정으로의 확장을 고려하여 가능한 한 가중치 비율에 영향을 받지 않는 업데이트 시간 및 근사비 보장을 제공한다.

제안 방법

• 공간을 셀로 반복적으로 분할할 수 있도록 큐브트리 분해를 사용하여 기하적 집합과 점의 효율적 분해를 가능하게 한다.
• 기하적 셋 커버 인스턴스를 주파수 제한이 있는 일반 셋 커버 인스턴스로 변환하는 주파수 감소 기법을 도입한다.
• 큐브트리 순회 기반의 단조적 오프라인 알고리즘을 적용하여 덮지 않은 영역을 가장 유용하게 덮는 집합(정사각형)을 선택한다.
• 온라인 히팅 세트의 경우 큐브트리 셀 내에 후보 점을 유지하고, 셀의 가장자리에 가장 가까운 점들을 선택하여 도착하는 정사각형을 히트한다.
• d차원에서의 동적 히팅 세트 문제를 고차원에서의 동적 셋 커버 문제로 변환하기 위해 점을 초입방형으로, 직사각형을 고차원에서 점으로 변환한다.
• 랭크-스페이스 축소와 BBD-트리를 사용하여 정수 좌표를 처리하고, 후보 점이 유한할 경우 O(log N)에서 O(log n)으로 경쟁비를 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 축에 평행한 정사각형에 대해 일반적인 셋 커버 경쟁비보다 향상된 o(log n log m) 경쟁비를 갖는 온라인 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 d차원 초직사각형에서 동적 기하 셋 커버 및 히팅 세트에 대해 다항로그 업데이트 시간을 달성할 수 있는가?
• RQ3 정사각형에 대해 온라인 히팅 세트에 대해 O(log n) 경쟁비를 달성할 수 있는가? 이는 O(log N) 경쟁비를 향상시키는 것이다.
• RQ4 2차원 직사각형에 대해 O(log n) 근사비와 다항로그 업데이트 시간을 갖는 동적 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 VC-차원이 상수인 집합 체계에 대해 o(log²n) 경쟁비를 갖는 온라인 알고리즘을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 크기의 축에 평행한 정사각형에 대해 O(log n)-경쟁비를 갖는 온라인 알고리즘을 제안하였으며, 이는 알려진 하한값 Ω(log n)과 일치한다.
• 정사각형에 대해 기하 히팅 세트에 대해 O(log N)-경쟁비를 갖는 온라인 알고리즘을 개발하였으며, 이는 간격에 대해 알려진 최고의 경쟁비와 일치하고, 일치하는 하한값을 통해 날카로운 경쟁비임을 입증한다.
• d차원 초직사각형에서의 동적 셋 커버 문제에 대해 (log m)^O(d)-근사비와 (log m)^O(d) 최악의 업데이트 시간을 달성하였으며, 이는 Chan 등(SODA'22)이 제기한 열린 문제를 해결한다.
• d차원 초직사각형에서의 동적 히팅 세트 문제에 대해 O(log⁴ᵈ⁻¹ n) 근사비와 O(log²ᵈ⁺² n) 업데이트 시간을 달성하였으며, 고차원 셋 커버로의 감소를 통해 이를 실현하였다.
• 가중치 설정에서는 초직사각형에 대해 O(log⁴ᵈ⁻¹ m · log W) 근사비와 O(log²ᵈ m · log³(Wm)) 업데이트 시간을 달성하였다.
• 정수 좌표 제약 조건 하에 2d차원 초입방형으로의 결과 확장을 통해 유사한 근사비 및 업데이트 시간 한계를 확보하였다.