[논문 리뷰] Online and semi-online scheduling on two hierarchical machines with a common due date to maximize the total early work

Man Xiao, Xiao Liu외 4명|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 19.

Optimization and Search Problems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 공통 도착일을 가진 두 대의 계층적 머신에서 온라인 및 반온라인 스케줄링을 연구하여 총 조기 작업량을 최대화한다. 각 설정에 대해 최적의 알고리즘을 제안하며, 경쟁률은 각각 순수 온라인일 경우 √2, 총 처리 시간을 알고 있을 경우 4/3, 하위 계층에 속한 최대 작업의 크기를 알고 있을 경우 6/5, 상위 계층에 속한 최대 작업의 크기를 알고 있을 경우 √5−1이며, 각 설정에 대해 날카로운 경쟁률 상한을 확립한다.

ABSTRACT

In this study, we investigated several online and semi-online scheduling problems on two hierarchical machines with a common due date to maximize the total early work. For the pure online case, we designed an optimal online algorithm with a competitive ratio of $\sqrt 2$. For the case when the total processing time is known, we proposed an optimal semi-online algorithm with a competitive ratio of $\frac{4}{3}$. Additionally, for the cases when the largest processing time is known, we gave optimal algorithms with a competitive ratio of $\frac{6}{5}$ if the largest job is a lower hierarchy one, and of $\sqrt 5-1$ if the largest job is a higher hierarchy one, respectively.

연구 동기 및 목표

• 공통 도착일을 가진 두 대의 계층적 머신에서 온라인 및 반온라인 스케줄링 문제를 다루며, 총 조기 작업량을 최대화하는 데 초점을 맞춘다.
• 온라인 환경에서 알고리즘 성능에 영향을 주는 부분 정보(예: 총 처리 시간, 최대 작업 크기, 계층 구조)의 영향을 분석한다.
• 하한선 도출 및 최적 알고리즘 설계를 통해 다양한 반온라인 모델에 대해 날카로운 경쟁률을 확립한다.
• 작업의 계층 구조가 머신 할당 가능성을 제한하는 계층적 스케줄링로의 조기 작업량 최대화 문제에 이전 연구를 확장한다.
• 경쟁률 분석을 통해 이론적 보장을 제공하며, 불확실성 하에서 최적의 성능을 보장한다.

제안 방법

• 사전 정보가 전혀 없는 순수 온라인 케이스에 대해 경쟁률 √2를 확보하는 온라인 알고리즘을 설계하고, 하한선 분석을 통해 최적성 증명한다.
• 모든 작업의 총 처리 시간이 사전에 알려져 있다고 가정하는 반온라인 알고리즘을 제안하며, 경쟁률 4/3을 확보하고 이는 최적임을 증명한다.
• 최대 작업의 처리 시간과 계층 구조가 사전에 알려진 경우를 위한 계층적 스케줄링 알고리즘을 개발하며, 머신 부하와 도착일 제약 조건에 기반한 조건부 할당 규칙을 사용한다.
• 최대 작업이 하위 계층에 속할 경우, 조기 작업량 최대화를 보장하기 위해 임계값 기반 할당 규칙을 적용하여 경쟁률 6/5를 달성한다.
• 최대 작업이 상위 계층에 속할 경우, 총 부하를 (√5−1)d 이하로 유지하는 보완적 로드 밸런싱 전략을 적용하여 경쟁률 √5−1를 확보한다.
• 경쟁률 분석을 통해 알고리즘 성능을 최적의 오프라인 해답과 비교하며, 경우의 수 분석과 부등식 유도를 통해 경쟁률의 날카로움을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사전 정보가 전혀 없는 경우, 공통 도착일을 가진 두 대의 계층적 머신에서 온라인 스케줄링의 최적 경쟁률은 무엇인가?
• RQ2 모든 작업의 총 처리 시간을 알고 있을 경우, 반온라인 스케줄링에서 조기 작업량 최대화 문제의 경쟁률에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 최대 작업의 처리 시간과 계층 구조가 사전에 알려져 있을 경우, 달성 가능한 경쟁률은 무엇인가?
• RQ4 작업의 계층적 구조와 도착일 제약 조건의 구조적 특성을 활용함으로써 더 낮은 경쟁률을 달성할 수 있는가?
• RQ5 동일한 문제 제약 조건 하에서 반온라인 알고리즘의 경쟁률은 순수 온라인 알고리즘의 경쟁률과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 순수 온라인 케이스에 대해 경쟁률 √2를 확보하는 최적의 온라인 알고리즘을 설계하였으며, 이는 하한선 분석을 통해 날카로운 상한임을 증명하였다.
• 모든 작업의 총 처리 시간이 알려진 반온라인 모델에서는 경쟁률 4/3을 확보하는 최적 알고리즘이 제안되었다.
• 최대 작업이 하위 계층에 속하고 그 크기가 알려져 있을 경우, 최적 경쟁률은 6/5이다.
• 최대 작업이 상위 계층에 속하고 그 크기가 알려져 있을 경우, 최적 경쟁률은 √5−1이다.
• 경쟁률 √5−1는 날카로우며, 최대 작업이 상위 계층에 속할 경우의 하한선과 정확히 일치한다.
• 제안된 알고리즘들은 경쟁률 분석을 통해 최적임이 증명되었으며, 모든 상한선이 향상될 수 없음을 입증하였다.