[논문 리뷰] Online dynamic mode decomposition for time-varying systems

Hao Zhang, Clarence W. Rowley외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 07.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 19인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 과거 데이터를 저장하지 않고 실시간으로 정확한 DMD 행렬을 계산하는 효율적인 온라인 동적 모드 분해(DMD) 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 랭크-1 업데이트를 사용하여 실시간으로 계산을 수행하며, 최근 스냅샷을 우선시하기 위해 가중 요소를 통합하여 시간에 따라 변화하는 역학을 정확히 추적할 수 있다. 상태 차원이 200 미만인 시스템에서 표준 DMD 및 스트리밍 DMD 방법에 비해 계산 효율성이 수개월에 이르게 향상된다.

ABSTRACT

Dynamic mode decomposition (DMD) is a popular technique for modal decomposition, flow analysis, and reduced-order modeling. In situations where a system is time varying, one would like to update the system's description online as time evolves. This work provides an efficient method for computing DMD in real time, updating the approximation of a system's dynamics as new data becomes available. The algorithm does not require storage of past data, and computes the exact DMD matrix using rank-1 updates. A weighting factor that places less weight on older data can be incorporated in a straightforward manner, making the method particularly well suited to time-varying systems. A variant of the method may also be applied to online computation of "windowed DMD", in which only the most recent data are used. The efficiency of the method is compared against several existing DMD algorithms: for problems in which the state dimension is less than about~200, the proposed algorithm is the most efficient for real-time computation, and it can be orders of magnitude more efficient than the standard DMD algorithm. The method is demonstrated on several examples, including a time-varying linear system and a more complex example using data from a wind tunnel experiment. In particular, we show that the method is effective at capturing the dynamics of surface pressure measurements in the flow over a flat plate with an unsteady separation bubble.

연구 동기 및 목표

• 기존 역사 데이터를 저장하지 않고도 시간에 따라 변화하는 시스템에서 실시간으로, 메모리 효율적인 DMD 계산 방법을 개발하기.
• 각 단계에서 정확한 계산을 보장하기 위해 랭크-1 업데이트를 사용하여 DMD 행렬을 온라인으로 업데이트할 수 있도록 하기.
• 최근 스냅샷에 더 높은 가중치를 주는 '기각 인자(forgetting factor)'를 통합하여 시간에 따라 변화하는 역학에 대한 적응성을 향상시키기.
• 합성 시간에 따라 변화하는 시스템과 실세계의 유체역학 데이터(예: 풍동 측정치)에 대한 실험을 통해 이 방법의 효과성을 입증하기.
• 온라인 시스템 식별 및 제어를 위한 표준 DMD 및 스트리밍 DMD에 비해 계산적으로 효율적인 대안 제공하기.

제안 방법

• 새로운 스냅샷 쌍 $ (\bm{x}_j, \bm{y}_j) $ 가 도착함에 따라, 알고리즘은 정확한 DMD 행렬 $ \bm{A}_k = \bm{Y}_k \bm{X}_k^+ $ 을 랭크-1 업데이트를 통해 계산한다.
• 완전한 재계산을 피하기 위해, 알고리즘은 $ \bm{X}_k^+ $ 인 모레-펜로즈 의사역행렬을 순차적 랭크-1 업데이트를 통해 유지한다.
• 오래된 스냅샷에 대해 지수적으로 감소하는 가중치를 제공하기 위해, $ \rho \in (0,1] $ 인 가중 요소를 적용한다. 이는 부드러운 기각(soft forgetting)을 가능하게 한다.
• 유한한 시간 창을 사용함으로써 '윈도우드 DMD(windowed DMD)' 라는 변형을 지원하며, 이는 가중 온라인 DMD의 부드러운 기각 대비 하드 커파트(hard cutoff)를 제공한다.
• 과잉 결정된 최소제곱 문제의 해가 잘 정의되도록 하기 위해, $ k > n $ 인 시스템을 대상으로 설계되었으며, 여기서 $ n $ 은 상태 차원이다.
• 업데이트 당 계산 비용은 $ \mathcal{O}(n^2) $ 이며, 이는 실시간 응용에 매우 효율적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 데이터를 저장하지 않고도 온라인 DMD 알고리즘이 실시간으로 정확한 DMD 행렬을 계산할 수 있는가?
• RQ2 표준 DMD에 비해 기각 인자를 통합함으로써 시간에 따라 변화하는 역학을 추적하는 데 어떤 개선이 이루어지는가?
• RQ3 상태 차원 $ n < 200 $ 인 시스템에서 온라인 DMD의 계산 효율성은 배치, 스트리밍, 윈도우드 DMD 방법에 비해 어떻게 되는가?
• RQ4 표면 압력 측정치와 같은 실험적 유체역학 데이터에서 느리게 변화하는 주파수를 효과적으로 포착할 수 있는가?
• RQ5 시간에 따라 변화하는 시스템에서 주파수 변화를 추적할 때, 가중 온라인 DMD와 윈도우드 DMD는 성능 면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 온라인 DMD 알고리즘은 실시간 계산에서 표준 DMD에 비해 수개월에 이르게 더 효율적이며, 업데이트 당 연산 비용은 $ 4n^2 $ 개의 부동소수점 연산이다.
• 상태 차원 $ n < 200 $ 인 시스템에서, 온라인 DMD는 스트리밍 및 배치 DMD를 포함한 모든 비교 알고리즘 중에서 가장 효율적인 것으로 나타났다.
• $ \rho = 0.999 $ 인 가중 온라인 DMD는 풍동 실험에서 느리게 변화하는 주파수를 효과적으로 추적했으며, 스냅샷 1000에 대해 약 0.37의 가중치를 할당했다.
• 윈도우 크기 $ w = 1000 $ 인 윈도우드 DMD는 하드 커파트를 제공하는 반면, 가중 온라인 DMD는 더 부드러운 전이를 제공하며, 양측 모두 표준 DMD보다 시간에 따라 변화하는 역학을 더 잘 포착했다.
• 이 방법은 불안정한 분리 기포가 존재하는 평판 위에서의 표면 압력 측정치의 역학을 성공적으로 포착했으며, 실세계 응용에서의 강건성을 입증했다.
• 알고리즘은 정확한 DMD 행렬을 실시간으로 제공하므로, 적응 제어 및 온라인 저차원 모델링에 적합하다.