[논문 리뷰] Online Local Volatility Calibration by Convex Regularization with Morozov's Principle and Convergence Rates

Vinicius Albani, Jorge P. Zubelli|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 01.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 보처-소볼레프 공간 내에서 볼록 티호노프 정규화를 사용한 온라인 국소 볼라틸리티 캘리브레이션 방법을 제안한다. 이는 기초 자산 가격으로 색인된 변화하는 시장 데이터를 통합한다. 모로조프의 불일치 원칙에 따라 수렴 속도를 확립하여 안정적이고 정확한 캘리브레이션을 보장하며, 정규화 매개변수 선택에 이론적 보장을 제공한다.

ABSTRACT

We address the inverse problem of local volatility surface calibration from market given option prices. We integrate the ever-increasing flow of option price information into the well-accepted local volatility model of Dupire. This leads to considering both the local volatility surfaces and their corresponding prices as indexed by the observed underlying stock price as time goes by in appropriate function spaces. The resulting parameter to data map is defined in appropriate Bochner-Sobolev spaces. Under this framework, we prove key regularity properties. This enable us to build a calibration technique that combines online methods with convex Tikhonov regularization tools. Such procedure is used to solve the inverse problem of local volatility identification. As a result, we prove convergence rates with respect to noise and a corresponding discrepancy-based choice for the regularization parameter. We conclude by illustrating the theoretical results by means of numerical tests.

연구 동기 및 목표

• 스트리밍 옵션 가격으로부터의 국소 볼라틸리티 표면 캘리브레이션에 대한 악조건의 역문제를 해결한다.
• 기초 자산 가격으로 색인된 시간에 따라 변화하는 시장 데이터를 캘리브레이션 프레임워크에 통합한다.
• 안정성을 향상시키기 위해 티호노프 정규화와 볼록 해석을 조합한 온라인 정규화 방법을 개발한다.
• 노이즈에 대한 이론적 수렴 속도와 정규화 매개변수 선택을 위한 불일치 기반 원칙을 확립한다.
• 적절한 함수 공간에서 매개변수-해 맵의 잘 정의됨과 정칙성을 확보한다.

제안 방법

• 기초 자산 가격 $ S_0 $ 로 색인된 시간에서의 잔존 기간과 행사가에 따라 국소 볼라틸리티 표면을 함수로 모델링한다.
• 시간에 따라 변화하는 볼라틸리티 가족을 다루기 위해 보처-소볼레프 공간에서 매개변수-해 맵 $ \boldsymbol{\nu} $ 를 정의한다.
• 온라인 캘리브레이션을 티호노프 정규화 최소화 문제로 공식화한다: $ \min \left\{ \int_{S_{\min}}^{S_{\max}}} \|F(a(S)) - C(S)\|_Y^2 dS + \alpha f_{\mathcal{A}_0}(\mathcal{A}) \right\} $.
• 불안정한 역문제를 안정화하기 위해 약한 하향 연속성과 강한 강하성 조건을 만족하는 볼록 함수 $ f_{\mathcal{A}_0} $ 를 적용한다.
• 노이즈 수준과 데이터 적합도에 기반하여 모로조프의 불일치 원칙을 사용해 정규화 매개변수 $ \alpha $ 를 선택한다.
• 연산자 $ \mathcal{U} $ 의 컴팩턴스, 약한 연속성, 약한 닫힘성을 증명하여 정규화 방법의 잘 정의됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변화하는 옵션 가격에서 온라인 데이터를 국소 볼라틸리티 캘리브레이션에 체계적으로 통합할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 보처-소볼레프 공간에서 매개변수-해 맵 $ \mathcal{U} $ 는 어떤 정칙성 성질을 갖는가?
• RQ3 노이즈 하에서 온라인 국소 볼라틸리티 캘리브레이션에 대해 수렴 속도를 확립할 수 있는가?
• RQ4 불일치 원칙을 사용해 정규화 매개변수를 적응적으로 선택할 수 있는가?
• RQ5 온라인 티호노프 정규화 캘리브레이션 방법의 이론적 안정성과 수렴 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 볼라틸리티 가족에서 옵션 가격으로의 사상 $ \mathcal{U} $ 는 컴팩트하고 약하게 닫혀 있으며, 이는 역문제의 악조건성을 확인한다.
• 제안된 온라인 티호노프 정규화 방법은 노이즈가 0으로 갈수록 정규화된 해가 진짜 볼라틸리티 표면으로 수렴함을 보장한다.
• 소스 조건 하에서 노이즈 수준 $ \delta $ 에 대해 수렴 속도가 $ \mathcal{O}(\delta^{\frac{1}{2}}) $ 의 순서로 확립된다.
• 정규화 매개변수 $ \alpha $ 는 모로조프의 불일치 원칙에 따라 선택되어 데이터 적합성과 안정성을 확보한다.
• 연산자 $ \mathcal{U} $ 의 한쪽 도함수는 유계이면서 리프시츠 연속이며, 이는 해 맵의 프레셰 미분 가능성의 확인이다.
• 이론적 분석을 통해 해 연산자의 약한 연속성과 약한 닫힘성을 확인하였으며, 이는 약한 수렴 가정 하에서의 수렴 가능성을 보장한다.