[논문 리뷰] Online Makespan Minimization with Parallel Schedules

Susanne Albers, Matthias Hellwig|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 20.

Optimization and Search Problems참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 온라인 메이크스팬 최소화를 위한 새로운 자원 증강 모델을 소개한다. 여기서 알고리즘은 여러 개의 병렬 스케줄을 유지하고 최종적으로 가장 좋은 스케줄을 선택한다. 상수 개의 스케줄을 사용하여 $(4/3 + \varepsilon)$-competitive 알고리즘을 제안하고, 다항수준의 스케줄을 사용하여 $(1 + \varepsilon)$-competitive 알고리즘을 제안하며, 이는 기존의 표준 온라인 경계보다 크게 향상된 성능을 달성한다.

ABSTRACT

In online makespan minimization a sequence of jobs $σ= J_1,..., J_n$ has to be scheduled on $m$ identical parallel machines so as to minimize the maximum completion time of any job. We investigate the problem with an essentially new model of resource augmentation. Here, an online algorithm is allowed to build several schedules in parallel while processing $σ$. At the end of the scheduling process the best schedule is selected. This model can be viewed as providing an online algorithm with extra space, which is invested to maintain multiple solutions. The setting is of particular interest in parallel processing environments where each processor can maintain a single or a small set of solutions. We develop a $(4/3+\eps)$-competitive algorithm, for any $0

연구 동기 및 목표

• 표준 온라인 메이크스팬 최소화의 한계를 해결하기 위해 병렬 스케줄 구축을 통한 새로운 형태의 자원 증강을 도입한다.
• 다수의 후보 스케줄을 유지하는 것이 온라인 스케줄링에서 경쟁 비율을 크게 향상시킬 수 있는지 조사한다.
• 최소한의 조율을 사용하면서도 거의 최적의 경쟁률을 달성하는 효율적인 알고리즘을 설계한다.
• 경쟁률이 $4/3$ 이하가 되기 위해 필요한 스케줄 수의 날카운 하한을 확립한다.
• 최적의 메이크스팬과 작업 처리 시간 빈도를 추측하는 방법의 가능성과 성능을 탐색한다.

제안 방법

• 알고리즘이 병렬로 다수의 스케줄을 생성하며, 들어오는 각 작업을 동시에 모든 스케줄에 할당한다.
• 희소한 후보 값 집합을 사용하여 최적의 메이크스팬을 $1+\varepsilon$ 요인 이내로 추측하는 새로운 추측 기법을 도입한다.
• 입력 시퀀스 내 작업 처리 시간의 빈도를 추정하기 위한 두 번째 추측 기법을 사용하며, 추측의 범위를 철저히 흐린 것으로 제한하여 스케줄 수를 제한한다.
• 로드 밸런싱과 스케줄 선택의 조합을 통해 최종 선택된 스케줄이 거의 최적의 메이크스팬을 달성하도록 보장한다.
• $(1+\varepsilon)$-competitive 알고리즘의 경우, 스케줄 수는 입력 크기와 무관하게 $(m/\varepsilon)^{O(\log(1/\varepsilon)/\varepsilon)}$ 이하로 제한된다.
• 스털링 근사와 벡터 매핑 기법을 사용한 조합적 분석을 통해 향상된 경쟁률을 달성하기 위해 필요한 타당한 스케줄 수의 하한을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 온라인 환경에서 다수의 병렬 스케줄을 유지하는 것이 메이크스팬 최소화의 경쟁 비율을 크게 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 경쟁률이 $4/3$ 이하가 되기 위해 필요한 최소 스케줄 수는 얼마인가?
• RQ3 최적의 메이크스팬과 작업 처리 시간 빈도를 추측하는 방법을 어떻게 설계할 수 있으며, 이를 통해 스케줄 수를 최소화하면서도 경쟁률을 유지할 수 있는가?
• RQ4 입력 크기와 무관한 다항수준의 스케줄을 사용하여 $(1+\varepsilon)$-competitive 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ5 제안된 모델은 온라인 메이크스팬 최소화에서 다른 자원 증강 형태와 비교해 성능가능성이 높은가?

주요 결과

• $(4/3 + \varepsilon)$-competitive 알고리즘은 $1/\varepsilon^{O(\log(1/\varepsilon))}$개의 스케줄을 사용하여 달성되며, 이는 고정된 $\varepsilon > 0$에 대해 상수이다.
• $(1 + \varepsilon)$-competitive 알고리즘은 $(m/\varepsilon)^{O(\log(1/\varepsilon)/\varepsilon)}$개의 스케줄을 사용하여 구성되며, 입력 시퀀스 $\sigma$와 무관한 다항수준의 경계이다.
• 경쟁률가 $4/3$ 이하가 되는 어떤 알고리즘도 $\Omega(m)$개의 스케줄을 생성해야 하며, 이는 $4/3$ 이하 경쟁률을 달성하기 위해 필요한 스케줄 수의 하한을 확립한다.
• 병렬 스케줄을 사용하여 달성된 경쟁 비율은 표준 온라인 모델의 결과보다 훨씬 우수하며, 다른 자원 증강 기법보다도 뛰어난 성능을 보인다.
• 메이크스팬과 작업 빈도 추정을 위한 흐린 추측 기법의 사용은 강력한 경쟁률을 유지하면서도 상수 또는 다항수준의 스케줄 수를 가능하게 한다.
• 분석 결과, 타당한 스케줄 수는 $\Omega((\varepsilon m)^{\lfloor 1/(4\varepsilon)\rfloor - 1/2}/\sqrt{m})$만큼 증가하며, 고정밀도 경쟁률을 달성하기 위해 필요한 스케줄 수의 강력한 하한을 제공한다.