[논문 리뷰] Online Nash Social Welfare Maximization with Predictions

Siddhartha Banerjee, Vasilis Gkatzelis외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 08.

Auction Theory and Applications참고 문헌 27인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 가용 가능한 자원이 순차적으로 도착하고, 각 에이전트의 가치가 할당 시점에만 공개되는 동적 자원 배분 환경에서 나시 사회후생을 최대화하기 위한 온라인 알고리즘을 제안한다. 각 에이전트의 독점자 이윤(모든 자원을 할당받을 경우의 총 가치)에 대한 예측을 활용함으로써, 예측이 정확할 경우 $O(\log N)$ 및 $O(\log T)$의 경쟁 비율을 달성하며, 오차가 있을 경우에도 부드럽게 성능이 저하되고 정확도에 대해 강건함을 보이며, 이러한 경쟁 비율의 상한이 본질적으로 날카로운 상한임을 증명한다.

ABSTRACT

We consider the problem of allocating a set of divisible goods to $N$ agents in an online manner, aiming to maximize the Nash social welfare, a widely studied objective which provides a balance between fairness and efficiency. The goods arrive in a sequence of $T$ periods and the value of each agent for a good is adversarially chosen when the good arrives. We first observe that no online algorithm can achieve a competitive ratio better than the trivial $O(N)$, unless it is given additional information about the agents' values. Then, in line with the emerging area of "algorithms with predictions", we consider a setting where for each agent, the online algorithm is only given a prediction of her monopolist utility, i.e., her utility if all goods were given to her alone (corresponding to the sum of her values over the $T$ periods). Our main result is an online algorithm whose competitive ratio is parameterized by the multiplicative errors in these predictions. The algorithm achieves a competitive ratio of $O(\log N)$ and $O(\log T)$ if the predictions are perfectly accurate. Moreover, the competitive ratio degrades smoothly with the errors in the predictions, and is surprisingly robust: the logarithmic competitive ratio holds even if the predictions are very inaccurate. We complement this positive result by showing that our bounds are essentially tight: no online algorithm, even if provided with perfectly accurate predictions, can achieve a competitive ratio of $O(\log^{1-ε} N)$ or $O(\log^{1-ε} T)$ for any constant $ε>0$.

연구 동기 및 목표

• 온라인 가분 자원 배분 환경에서 악성 평가를 가정할 때 나시 사회후생을 최대화하는 문제에 대응하기 위해.
• 추가 정보 없이 온라인 환경에서 하위선형 경쟁 비율이 달성 불가능한 본질적 한계를 극복하기 위해.
• 에이전트의 독점자 이윤에 대한 예측을 활용하여 강력한 성능 보장을 달성하는 온라인 알고리즘을 설계하기 위해.
• 예측 오차에 대한 알고리즘의 강건성과 경쟁 비율 상한의 날카로움을 분석하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 각 에이전트의 독점자 이윤(모든 자원을 할당받을 경우의 총 가치)에 대한 예측을 사용하여 할당 결정을 유도한다.
• 현재의 이득과 향후의 공정성을 고려하여 비율 $\frac{v_{i,t}}{\tilde{u}_{i,t}(z_{i,t})}$를 고려하는 할당 전용 그릅 전략을 사용한다. 여기서 $\tilde{u}_{i,t}(z_{i,t})$는 과거 할당으로부터 예측된 이윤이다.
• 각 시간 단계에서 할당은 용량 제약 조건이 아이템의 1/2인 조건 하에 로그 유용도 합을 최대화하는 볼록 최적화 문제를 풀어 결정된다.
• 알고리즘은 매번 에이전트 중에서 가장 작은 경계 비율 $\frac{v_{i,t}}{\tilde{u}_{i,t}(z_{i,t})}$를 가진 이들에게 경계 분할을 반복적으로 할당함으로써 각 라운드에서 $O(N)$ 시간에 효율적으로 할당을 계산한다.
• 현재의 한계 유용도 대비 예측된 유용도에 기반한 동적 순위를 유지함으로써 최적의 한계 할당을 보장한다.
• 이 방법은 한계 비용을 최소화하는 것이 이중 최적화 문제를 해결하는 데 해당됨을 보여줌으로써 정당화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가 정보 없이 온라인 알고리즘이 나시 사회후생 최대화에서 하위선형 경쟁 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ2 에이전트의 독점자 이윤에 대한 예측이 정확하지 않을 경우 온라인 알고리즘의 성능은 어떻게 저하되는가?
• RQ3 예측이 완전히 정확할 경우 온라인 알고리즘이 $O(\log N)$ 및 $O(\log T)$의 경쟁 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ4 완전한 예측이 있더라도 $O(\log N)$ 및 $O(\log T)$의 경쟁 비율 상한이 날카로운가?
• RQ5 큰 오차를 가진 예측된 독점자 이윤에 대해 알고리즘이 얼마나 강건한가?

주요 결과

• 예측된 독점자 이윤이 정확할 경우 제안된 알고리즘은 $O(\log N)$ 및 $O(\log T)$의 경쟁 비율을 달성한다.
• 예측의 곱 오차가 증가할수록 경쟁 비율이 부드럽게 저하되며, 심지어 큰 정확도 오차가 있을 경우에도 강력한 성능 유지를 유지한다.
• 알고리즘은 놀랍도록 강건하다: 매우 정확하지 않은 예측이 있더라도 경쟁 비율은 여전히 $O(\log N)$ 및 $O(\log T)$를 유지하며, 예측 오차에 대한 내성적 저항력을 보여준다.
• 논문은 어떤 $\epsilon > 0$에 대해서도, 완전히 정확한 예측이 있더라도 온라인 알고리즘이 $O(\log^{1-\epsilon}N)$ 또는 $O(\log^{1-\epsilon}T)$의 경쟁 비율을 달성할 수 없다는 것을 증명함으로써 상한의 날카로움을 입증한다.
• 알고리즘의 계산 복잡도는 $T$라운드 동안 $O(TN)$이며, 각 라운드는 $O(N)$ 시간에 경계 비율 기반의 그릅 전략을 사용하여 해결 가능하다.
• 알고리즘의 정확성은 이중성 논증을 통해 입증되며, 약속된 가격을 최소화하는 것이 분수 할당 제약 조건 하에서 로그 유용도 합을 최대화하는 것과 동치임을 보여준다.