[논문 리뷰] Online Submodular Maximization Problem with Vector Packing Constraint

T-H. Hubert Chan, Shaofeng H.-C. Jiang외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 21.

Optimization and Search Problems참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\epsilon$-슬랙 가정 하에, 각 차원에서 항목의 무게가 $1-\epsilon$ 이하로 제한되는 벡터 패킹 제약 조건을 가진 온라인 부분모듈라 최적화 문제에 대해 결정적 $ O(k/\epsilon^2) $-경쟁 알고리즘을 제시한다. 알고리즘은 임의의 항목 도착 순서와 자유 분해를 허용하더라도 거의 최적의 성능을 달성하며, 결정적 알고리즘에 대해 $\Omega(k)$ 경쟁력이 불가피하고, 랜덤화된 알고리즘에 대해서는 $\Omega(k/\log k)$ 경쟁력이 불가피하다는 엄밀한 하한 결과를 제시한다.

ABSTRACT

We consider the online vector packing problem in which we have a $d$ dimensional knapsack and items $u$ with weight vectors $\mathbf{w}_u \in \mathbb{R}_+^d$ arrive online in an arbitrary order. Upon the arrival of an item, the algorithm must decide immediately whether to discard or accept the item into the knapsack. When item $u$ is accepted, $\mathbf{w}_u(i)$ units of capacity on dimension $i$ will be taken up, for each $i\in[d]$. To satisfy the knapsack constraint, an accepted item can be later disposed of with no cost, but discarded or disposed of items cannot be recovered. The objective is to maximize the utility of the accepted items $S$ at the end of the algorithm, which is given by $f(S)$ for some non-negative monotone submodular function $f$. For any small constant $ε> 0$, we consider the special case that the weight of an item on every dimension is at most a $(1-ε)$ fraction of the total capacity, and give a polynomial-time deterministic $O(\frac{k}{ε^2})$-competitive algorithm for the problem, where $k$ is the (column) sparsity of the weight vectors. We also show several (almost) tight hardness results even when the algorithm is computationally unbounded. We show that under the $ε$-slack assumption, no deterministic algorithm can obtain any $o(k)$ competitive ratio, and no randomized algorithm can obtain any $o(\frac{k}{\log k})$ competitive ratio. For the general case (when $ε= 0$), no randomized algorithm can obtain any $o(k)$ competitive ratio. In contrast to the $(1+δ)$ competitive ratio achieved in Kesselheim et al. (STOC 2014) for the problem with random arrival order of items and under large capacity assumption, we show that in the arbitrary arrival order case, even when $\| \mathbf{w}_u \|_\infty$ is arbitrarily small for all items $u$, it is impossible to achieve any $o(\frac{\log k}{\log\log k})$ competitive ratio.

연구 동기 및 목표

• 임의의 항목 도착 순서 하에서, 벡터 패킹 제약 조건이 있는 온라인 부분모듈라 최적화 문제를 다루는 것.
• $\epsilon$-슬랙 가정 하에 다항식 시간 결정적 알고리즘을 설계하여 $O(k/\epsilon^2)$ 경쟁 비율을 달성하는 것.
• 온라인 벡터 패킹 환경에서 결정적 및 랜덤화된 알고리즘에 대한 엄밀한 하한 결과를 확립하는 것.
• 작은 항목 무게가 경쟁 비율에 미치는 영향을 분석하며, 특히 슬랙이 없는 경우를 중심으로 다루는 것.
• 임의의 도착 순서 하에서 조건부 항목 무게($\|\mathbf{w}_u\|_\infty \to 0$)가 존재하더라도, $o(\log k / \log \log k)$ 경쟁 비율을 달성할 수 없다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 항목의 경계 기여도와 용량 제약 조건에 기반한 임계값 전략을 사용하는 새로운 온라인 알고리즘을 도입하며, 자유 분해를 허용한다.
• 모든 $d$ 차원에서 탇합성을 유지하면서 단조 부분모듈라 유용도 최대화를 보장하기 위해 이중 적합 기법을 적용한다.
• 항목의 최대 비제로 좌표 수인 $k$에 따라 성능이 달라지는 스퍼스리어지향 설계를 채택한다.
• 어려운 분포를 구성하고 적대적 구조를 가진 항목 순서를 고려하여 얀의 원리를 적용해 하한 결과를 유도한다.
• 각 단계에서 점점 줄어드는 차원 집합에서 겹치는 지원을 가진 항목을 도입하는 다단계 항목 생성 과정을 설계하여 전략적 갈등을 유도한다.
• 조화수의 경계를 사용해 기대 성능을 분석하여, 최적의 오프라인 선택 하에 기대적으로 $O(1/\epsilon)$개의 항목만 유지될 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정적 온라인 알고리즘이 $\epsilon$-슬랙 조건 하에서, 벡터 패킹 제약 조건이 있는 부분모듈라 최적화 문제에 대해 $O(k/\epsilon^2)$ 경쟁 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ2 결정적 알고리즘의 경우, $\epsilon$-슬랙 가정 하에서 달성 가능한 최고의 경쟁 비율은 무엇인가?
• RQ3 이 설정에서 결정적 알고리즘에 대해 $O(k/\epsilon^2)$ 경쟁 비율이 상수 인자 범위 내에서 엄밀한가?
• RQ4 이 온라인 벡터 패킹 문제에서 랜덤화된 알고리즘의 근본적 한계는 무엇인가?
• RQ5 부하 항목 무게(즉, $\|\mathbf{w}_u\|_\infty \to 0$)가 임의의 도착 순서 하에서 더 나은 경쟁 비율을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 논문은 $\epsilon$-슬랙 조건 하에서, 벡터 패킹 제약 조건이 있는 온라인 부분모듈라 최적화 문제에 대해 결정적 $O(k/\epsilon^2)$-경쟁 알고리즘을 제시한다.
• $\epsilon$-슬랙 가정 하에, 어떤 결정적 알고리즘도 $\Omega(k)$ 보다 우수한 경쟁 비율을 달성할 수 없으며, 제안된 알고리즘은 상수 인자 범위 내에서 최적이다.
• 랜덤화된 알고리즘의 경우, $\epsilon$-슬랙 가정 하에 $\Omega(k/\log k)$ 보다 좋은 경쟁 비율을 달성할 수 없으며, 이는 하한이다.
• 일반적인 경우 $\epsilon = 0$일 때, 랜덤화된 알고리즘은 무제한 계산 능력이 있더라도 $\Omega(k)$ 보다 좋은 경쟁 비율을 달성할 수 없다.
• 모든 항목의 무게가 임의로 작아지더라도, 임의의 도착 순서 하에서는 어떤 알고리즘도 $o(\log k / \log \log k)$ 보다 좋은 경쟁 비율을 달성할 수 없다.
• 양의 원리를 사용하여, 어떤 랜덤화된 알고리즘도 기대적으로 최대 $O(\frac{\log \log d}{\log d}) \cdot \mathsf{OPT}$ 유용도를 달성할 수 있음을 보여주는 어려운 분포를 구성함으로써 하한 결과의 엄밀함을 증명한다.