[논문 리뷰] Onsager's energy conservation for inhomogeneous Euler equations

Robin Ming Chen, Cheng Yu|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 26.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 차원 및 세 차원에서 비균질 유동방정식의 약한 해에 대한 에너지 보존을 위한 충분조건을 확립한다. 베소프 유형의 추정을 통해 밀도 및 속도 장의 정칙성을 분석함으로써, 두 조건 하에서 에너지 보존을 증명한다: 밀도의 공간 기울기의 적분 가능성(고전적 결과의 확장)과 속도의 향상된 시간 정칙성(거친 밀도 프로파일 허용).

ABSTRACT

This paper addresses the problem of energy conservation for the two- and three-dimensional density-dependent Euler equations. Two types of sufficient conditions on the regularity of solutions are provided to ensure the conservation of total kinetic energy on the entire time interval including the initial time. The first class of data assumes integrability on the spatial gradient of the density, and hence covers the classical result of Constantin-E-Titi for the homogeneous Euler equations. The other type of data imposes extra time Besov regularity on the velocity profile, and the corresponding result can be applied to deal with a wide class of rough density profiles.

연구 동기 및 목표

• 변화하는 밀도를 가진 비균질 오일러 방정식의 약한 해에서 에너지 보존을 다루기 위해.
• 밀도 비균일성이 새로운 분석적 과제를 야기하는 비균질 경우로 온스러의 에너지 보존 추측을 확장하기 위해.
• 시간에 따라 총 운동 에너지 보존을 보장하는 밀도 및 속도에 대한 충분한 정칙성 조건을 규명하기 위해.
• 밀도가 0에서 멀리 떨어져 있지 않은 진공 영역을 다루기 위해, 밀도가 0에서 멀리 떨어져 있다는 가정을 피하기 위해.
• 이전의 균질 유동 결과를 일반화하기 위해, 향상된 속도 정칙성을 통해 거친 밀도 프로파일을 통합하기 위해.

제안 방법

• 모리피케이션된 운동량 방정식을 정규화된 속도 장으로 테스트하여 에너지 항등식을 유도한다.
• 모리피케이션에서 발생하는 비선형 항, 특히 $ \rho \mathbf{u} $의 곱을 제어하기 위해 교환자 추정을 사용한다.
• 특히 $ \mathbf{u} \in B_p^{\beta,\infty}(0,T; B_q^{\alpha,\infty}(\mathbb{T}^N)) $일 때, 공간 및 시간 양쪽에서 베소프 공간 추정을 적용하여 속도 장의 정칙성을 다룬다.
• 시간 도함수 항을 $ \varepsilon^{\alpha + 2\beta - 1} $ 감쇠로 제어하며, 이는 $ \alpha + 2\beta > 1 $ 조건을 요구하여 0으로 수렴함을 보장한다.
• 속도의 발산 자유성과 $ \sqrt{\rho} \mathbf{u} $의 $ L^2 $에서의 약한 연속성을 이용하여 임의의 시간에서 초깃값 에너지를 복원한다.
• 레마 2.2를 활용하여 $ (\rho \mathbf{u})^\varepsilon - \rho^\varepsilon \mathbf{u} $에 대한 교환자 추정을 수행하며, 이로 인해 $ \varepsilon^\alpha $ 유형의 감쇠를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균질 오일러 방정식의 약한 해에서 총 운동 에너지 보존이 이루어지기 위한 밀도 및 속도 장의 정칙성 조건은 무엇인가?
• RQ2 밀도가 0에서 멀리 떨어져 있지 않은 경우, 즉 진공 영역이 허용되는 경우에도 에너지 보존을 확립할 수 있는가?
• RQ3 속도 장의 시간 정칙성이 밀도 프로파일의 거칠기와 어떻게 상쇄되는가?
• RQ4 비균질 설정에서 에너지 보존을 위한 정규성의 정확한 임계값(홀더 또는 베소프 노름 기준)은 무엇인가?
• RQ5 균질 유동에 대한 고전적 온스러 추측은 변수 밀도를 가진 비균질 경우로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 밀도의 공간 기울기가 적분 가능할 경우 에너지가 보존되며, 이는 균질 유동에 대한 콜로나-에-티티의 고전적 결과를 복원한다.
• 속도 장이 충분한 시간 정칙성을 가지며, 특히 $ \mathbf{u} \in B_p^{\beta,\infty}(0,T; B_q^{\alpha,\infty}(\mathbb{T}^N)) $ 이고 $ \alpha + 2\beta > 1 $일 경우, 거친 밀도 프로파일이 존재하더라도 에너지가 보존된다.
• 밀도가 0에서 멀리 떨어져 있지 않아도 되는 것을 방지하기 위해, 이 방법은 진공 영역을 허용한다.
• 시간 교환자 항은 $ \alpha + 2\beta > 1 $ 조건 하에서 $ \varepsilon \to 0 $일 때 0으로 수렴하며, 이는 모리피케이션된 에너지 항등식의 수렴을 보장한다.
• 에너지 항등식은 모든 $ t \in [0,T] $ 에서 성립하며, $ \sqrt{\rho} \mathbf{u} \in C([0,T]; L^2) $ 및 $ \sqrt{\rho} \in C([0,T]; L^2_{\text{weak}}) $ 이므로 약한 연속성이 보장된다.
• 결과는 두 차원 및 세 차원의 주기적 영역에 모두 적용되며, 비균질 유체에 대한 온스러 유형의 에너지 보존 범위를 확장한다.