[논문 리뷰] Open Conjectures on Congruences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 30.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 54인용 수 79

한 줄 요약

이 논문은 소수의 고차 멱에 대한 이항계수의 곱의 합을 포함하는 초동치(congruence)에 관한 100개의 개방된 추측을 제시하며, 모듈러 형식, 초함수 급수, L함수의 특수값과의 연관성을 포함한다. 또한 최근에 확인된 20개의 추측을 포함하고 있으며, 많은 경우 라마누잔 형 π 급수와 일반화된 카탈란 수를 포함하며, 일부 추측은 증명에 대해 현금 보상까지 제시한다.

ABSTRACT

We collect here various conjectures on congruences made by the author in a series of papers, some of which involve binary quadratic forms and other advanced theories. Part A consists of 100 unsolved conjectures of the author while conjectures in Part B have been recently confirmed. We hope that this material will interest number theorists and stimulate further research. Number theorists are welcome to work on those open conjectures; for some of them we offer prizes for the first correct proofs.

연구 동기 및 목표

• 소수의 고차 멱에 대한 이항계수의 합을 포함하는 초동치에 관한 100개의 미해결 추측을 정리하고 제시하는 것.
• 초동치, L함수의 특수값, 모듈러 형식 사이의 깊은 연관성을 조사하는 것.
• 초동치와 π, 베르누이 수 및 오일러 수, 조화합수와 관련된 급수 사이의 연결 고리를 탐색하는 것.
• 특히 소수에 대한 복잡한 산술 조건을 포함하는 추측에 대해 첫 번째 올바른 증명을 제출한 자에게 현금 보상을 제공하는 것.
• 초함수 급수와 일반화된 카탈란 수를 포함하는 최근에 해결된 추측들을 기록하고 확인하는 것.

제안 방법

• 이항계수의 곱을 포함하는 형태의 합 $\sum_{k=0}^{p-1} a_k / m^k \mod p^a $ 에 대한 추측을 수립하는 것, 여기서 $ a_k $ 는 이항계수의 곱을 포함한다.
• p-진 값매기기와 p-진 감마 함수를 사용하여 $ p^2 $, $ p^3 $, 그리고 더 높은 멱에 대한 동치를 분석하는 것.
• 가우스 합과 야코비 합, 초함수 급수, 모듈러 형식의 항등식을 적용하여 합의 구조적 제약 조건을 도출하는 것.
• 생성함수와 $ [x^n]P(x) $ 를 통한 계수 추출을 활용하여 수열의 산술적 성질을 연구하는 것.
• 베르누이 수, 오일러 수, 조화수, 루카스 수열에 대한 기존 결과를 활용하여 추측을 유도하고 검증하는 것.
• 고급 조합 항등식과 기호 계산을 활용하여 일부 추측을 확인하고, 독립적인 연구자들(예: 길레라, 선, 헤사미 피레후드)의 검증을 통해 결과를 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 $ p \equiv 1 \mod 7 $ 이고 $ p = x^2 + 7y^2 $ 를 만족할 때, $ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^3 \mod p^2 $ 의 정확한 $ p^2 $-동치는 무엇인가?
• RQ2 $ p = x^2 + 7y^2 $ 일 때, $ \sum_{k=0}^{p-1} k \binom{2k}{k}^3 \mod p $ 는 $ x $ 와 $ y $ 를 이용해 닫힌 표현식으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 항등식 $ \sum_{k=1}^\infty \frac{(11k-3)64^k}{k^3 \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}} = 8\pi^2 $ 는 초동치 기법을 통해 증명될 수 있는가?
• RQ4 $ n > 1 $ 인 정수 중에서, 합 $ \sum_{k=0}^{n-1} (21k+8)\binom{2k}{k}^3 \equiv 8n \mod n^4 $ 가 소수성을 암시하는가?
• RQ5 모든 소수 $ p > 3 $ 에 대해 동치 $ \sum_{k=0}^{(p-1)/2} (205k^2 + 160k + 32)(-1)^k \binom{2k}{k}^5 \equiv 32p^2 + \frac{896}{3}p^5 B_{p-3} \mod p^6 $ 는 참인가?

주요 결과

• 이항계수의 세제곱 합에 대한 추측 A1, 즉 $ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^3 \mod p^2 $ 에 대해 $ (\frac{p}{7}) = -1 $ 인 경우에 확인되었지만, $ (\frac{p}{7}) = 1 $ 인 경우는 여전히 미해결이며, 증명에 대해 70달러의 보상 제도가 마련되어 있다.
• 합 $ \sum_{k=0}^{p-1} k \binom{2k}{k}^3 \mod p $ 는 $ p = x^2 + 7y^2 $ 일 때, 앨리와 미슈타카의 추측에 따라 $ \frac{32}{3}y^2 \mod p $ 로 표현될 수 있다.
• 추측 B15는 확인되었다: $ \sum_{k=1}^\infty \frac{(11k-3)64^k}{k^3 \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}} = 8\pi^2 $ 로서, 초함수 급수와 $ \pi^2 $ 를 연결한다.
• 추측 B16는 확인되었다: $ p = x^2 + 2y^2 $ 일 때, 합 $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{4k}{2k}\binom{2k}{k}}{128^k} \equiv (-1)^{\lfloor(p+5)/8\rfloor}(2x - p/(2x)) \mod p^2 $ 이다.
• 추측 B18는 확인되었다: $ p > 5 $ 일 때, $ \sum_{k=0}^{p-1} (205k^2 + 160k + 32)(-1)^k \binom{2k}{k}^5 \equiv 32p^2 + 64p^3 H_{p-1} \mod p^7 $ 이다.
• 추측 B19(i)는 확인되었다: $ \sum_{k=1}^\infty \frac{(15k-4)(-27)^{k-1}}{k^3 \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(\frac{k}{3})}{k^2} $ 로서, 초함수 급수와 딜리클레 문자합을 연결한다.