[논문 리뷰] Open Markov Processes and Reaction Networks

Blake S. Pollard|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 27.

Gene Regulatory Network Analysis인용 수 3

한 줄 요약

이 학위논문은 개방 마르코프 과정과 반응 네트워크를 위한 범주론적 프레임워크를 개발하며, 비평형 정상 상태가 이차 소산 함수를 최소화함을 보여주고, 이를 통해 프리고진의 최소 엔트로피 생성 원리와 밀접하게 연결된다. 비밀상자화 함자(functor)를 도입하여 개방 시스템을 경계 확률과 유량의 선형 관계로 매핑함으로써, 범주론과 기울기 유량 구조를 활용한 복잡한 시스템의 조합적 분석이 가능해진다.

ABSTRACT

We define the concept of an `open' Markov process, a continuous-time Markov chain equipped with specified boundary states through which probability can flow in and out of the system. External couplings which fix the probabilities of boundary states induce non-equilibrium steady states characterized by non-zero probability currents flowing through the system. We show that these non-equilibrium steady states minimize a quadratic form which we call `dissipation.' This is closely related to Prigogine's principle of minimum entropy production. We bound the rate of change of the entropy of a driven non-equilibrium steady state relative to the underlying equilibrium state in terms of the flow of probability through the boundary of the process. We then consider open Markov processes as morphisms in a symmetric monoidal category by splitting up their boundary states into certain sets of `inputs' and `outputs.' Composition corresponds to gluing the outputs of one such open Markov process onto the inputs of another so that the probability flowing out of the first process is equal to the probability flowing into the second. We construct a `black-box' functor characterizing the behavior of an open Markov process in terms of the space of possible steady state probabilities and probability currents along the boundary. The fact that this is a functor means that the behavior of a composite open Markov process can be computed by composing the behaviors of the open Markov processes from which it is composed. We prove a similar black-boxing theorem for reaction networks whose dynamics are given by the non-linear rate equation. Along the way we describe a more general category of open dynamical systems where composition corresponds to gluing together open dynamical systems.

연구 동기 및 목표

• 범주론을 활용해 개방 마르코프 과정의 조합적 프레임워크를 수립하여 비평형 시스템의 모듈식 분석을 가능하게 한다.
• 개방 마르코프 과정에서의 비평형 정상 상태가 이차 소산 함수를 최소화함을 보이며, 이를 프리고진의 최소 엔트로피 생성 원리와 연결한다.
• 개방 마르코프 과정을 경계 확률과 전류의 선형 관계로 매핑하는 비밀상자화 함자를 구성하여 조합성을 유지한다.
• 비선형 반응 속도 방정식을 갖는 개방 동역학계로의 확장을 위해 반응 네트워크에 대해 정상 상태 행동이 반대칭대수관계(semialgebraic relations)로 기술될 수 있음을 보이며, 조합적 접근을 일반화한다.
• 복잡한 균형 반응 네트워크에서 유사한 변분 원리가 존재하는지 탐색하며, 자유 에너지와 기울기 유량 구조를 연결한다.

제안 방법

• 확률이 유입 및 유출되는 경계 상태를 갖는 연속시간 마르코프 체인으로서 개방 마르코프 과정을 정의한다.
• 주어진 시간 진화를 기술하기 위해 마스터 방정식을 사용하며, 상세 균형 평형 상태는 상세 균형 조건을 만족한다.
• 외부 경계 조건 하에서 비평형 정상 상태가 이차 형식으로서 정의된 '소산'을 최소화함을 도입한다.
• 출력을 입력에 연결하고, 텐서 곱을 병렬 조합으로 하는 방식으로 조합이 이루어지는 개방 마르코프 과정의 대칭 모나이드 범주를 구성한다.
• 개방 마르코프 과정에서 선형 관계 범주(LinRel)로의 비밀상자화 함자를 정의하며, 각 시스템을 경계 행동(확률과 전류)의 부분공간으로 매핑한다.
• 장식된 코스탄(Decorated cospans)과 함자적 조합을 활용하여, 비선형 반응 속도 방정식을 갖는 개방 동역학계와 반응 네트워크로의 프레임워크를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 개방 마르코프 과정이 어떻게 그 역학적 행동을 유지하면서 조합될 수 있으며, 이를 뒷받침하는 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ2 개방 마르코프 과정에서 비평형 정상 상태를 지배하는 변분 원리는 무엇이며, 엔트로피 생성과 소산과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 개방 반응 네트워크의 행동은 체계적으로 비밀상자화 함자를 통해 기술될 수 있는가? 이는 정상 상태 농도와 유량과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 균형에 가까운 비평형 마르코프 과정에서 상대 엔트로피, 자유 에너지, 소산 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 복잡한 균형 반응 네트워크를 위한 자연스러운 범주론적 프레임워크가 존재하는가? 이는 상세 균형 마르코프 과정에 대한 변분 원리와 유사한 성질을 갖는가?

주요 결과

• 개방 마르코프 과정에서의 비평형 정상 상태는 이차 소산 함수를 최소화하며, 이는 균형에 가까운 상태에서 엔트로피 생성률을 근사한다.
• 비밀상자화 함자는 각 개방 마르코프 과정을 경계 확률과 전류의 선형 부분공간으로 매핑하며, 복합 시스템의 행동이 구성 요소들의 조합임을 보장한다.
• 상세 균형 마르코프 과정의 경우, 정상 상태 행동은 함자 K를 통해 전기 회로로 매핑될 수 있으며, 이러한 시스템의 비밀상자화 결과는 LinRel 내의 선형 관계가 된다.
• 상대 엔트로피는 마르코프 과정의 리아푸노프 함수로서 시간이 지남에 따라 감소하며, 균형에 가까운 영역에서는 소산을 근사한다.
• 개방 마스터 방정식은 평형 분포를 포함하는 메트릭을 통해 정의된 기울기를 갖는 소산 함수에 대한 기울기 유량으로 표현될 수 있다.
• 비선형 반응 속도 방정식을 포함하는 개방 반응 네트워크를 위한 일반적 프레임워크는 반대칭대수관계로의 함자를 통해 수립되었으며, 선형 시스템을 초월한 조합적 접근이 확장되었다.