[논문 리뷰] Open string with a background B-field as the first order mechanics and noncommutativity

Alexei A. Deriglazov, C. Neves외 1명|ArXiv.org|2001. 10. 19.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 3인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 B-장이 일정한 오픈 끈을 푸리에 모드를 동적 변수로 사용하는 1차 기계계로 공식화하여, 근사 없이 디라크의 제약이 있는 해밀토니안 양자화를 직접 적용할 수 있도록 한다. 핵심 결과는 영모드의 비교교환성(Noncommutativity)이 혼합 경계 조건에서 자연스럽게 발생하며, 캐논ical 변환을 통해 경계 비교교환성을 제거할 수 있다는 점으로, 이는 비교교환성과 비교성 양밀스 이론 간의 세이버그-우든 dualit에 대한 확인이 된다.

ABSTRACT

To study noncommutativity properties of the open string with constant B-field we construct a mechanical action which reproduces classical dynamics of the string sector under consideration. It allows one to apply the Dirac quantization procedure for constrained systems in a direct and unambiguous way. The mechanical action turns out to be the first order system without taking the strong field limit $B\longrightarrow\infty$. In particular, it is true for zero mode of the string coordinate which means that the noncommutativity is intrinsic property of this mechanical system. We describe the arbitrariness in the relation existent between the mechanical and the string variables and show that noncommutativity of the string variables on the boundary can be removed. It is in correspondence with the result of Seiberg and Witten on relation among noncommutative and ordinary Yang-Mills theories.

연구 동기 및 목표

• B-장 배경을 가진 오픈 끈의 일관된 해밀토니안 공식화를 제공함. 이때 기계적 변수는 푸리에 모드에서 유도됨.
• 수정 없이 표준 디라크 양자화 절차를 제약 시스템에 적용함으로써, 이전 접근 방식에서의 모호함을 피함.
• 특히 D-브레인 경계에서 발생하는 좌표의 비교교환성의 기원을 명확히 함.
• D-브레인에서의 비교교환성이 적절한 캐논ical 변환을 통해 제거될 수 있음을 보여주며, 세이버그-우든 등가성과 일치함.
• 기계적 변수와 끈 좌표 사이에 전체 역학과 제약을 유지하면서도 체계적인 프레임워크를 수립함.

제안 방법

• 끈 좌표 $ x^i(\tau, \sigma) $ 를 기계적 변수 $ c_n^i(\tau) $ (영모드 $ c_0^i $ 포함)로 푸리에 분해하여, 장 이론을 기계계로 재구성함.
• 원래 끈 작용 (1) 에서 유도된 $ c_n^i $ 의 운동 방정식 유도. 혼합 경계 조건으로 인해 시간에 대한 1차 미분형 운동이 발생함.
• 유도된 역학을 재현하는 기계적 작용을 구성하여, 디라크 방법을 제약 시스템에 직접 적용할 수 있도록 함.
• 기계계에 대해 디라크 절차를 적용하여 1차 제약를 식별하고, 디라크 괄목을 계산함으로써 모호하지 않은 양자화 보장.
• 결과를 원래 끈 좌표로 재표현하여 해밀토니안 공식화를 복원하고, 비교교환 괄목을 계산함.
• 상태공간의 구조 자유도(괄목 및 해밀토니언 선택)를 활용하여, D-브레인에서의 비교교환성이 적절한 캐논ical 변환으로 제거될 수 있음을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 B-장이 있는 오픈 끈은 추가 수정 없이 표준 디라크 제약을 사용하여 일관되게 양자화할 수 있는가?
• RQ2 왜 비교교환성이 끈 좌표에서 특히 D-브레인 경계에서 발생하는가? 이는 본질적인 특성인가, 제거 가능한가?
• RQ3 영모드 $ c_0^i $ 는 비교교환성을 어떻게 생성하는가? 왜 시간 미분에 대해 1차인가?
• RQ4 비교교환성이 얼마나 제거될 수 있으며, 이는 세이버그-우든 이중성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 상태공간의 구조 선택(괄목 및 해밀토니언)은 이 시스템에서 비교교환성의 물리적 해석에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 혼합 경계 조건으로 인해, 강한장 근사 $ B \to \infty $ 가 없더라도 B-장이 있는 오픈 끈으로부터 유도된 기계계는 본질적으로 시간에 대해 1차 미분형이다.
• 영모드 좌표 $ c_0^i $ 는 상호 캐논ical 쌍을 이루며, 이로 인해 본질적인 비교교환성 $ \{c_0^i, c_0^j\}_D = -E^{ij} \neq 0 $ 이 발생한다. 이는 정규화의 산물이 아니다.
• 끈 좌표는 부피 내와 경계에서 모두 비교교환성을 보이며, 경계 비교교환성은 $ \{x^i(\tau,0), x^j(\tau,0)\}_D = -\left(1 + \frac{1}{2\pi\alpha'}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 f_n}\right)(B^{-1})^{ij} $ 로 주어진다.
• 만일 $ f_n = \frac{\pi^2}{3(2\pi\alpha')^3} $ 과 적절한 행렬 $ E $, $ A $ 를 선택하면, D-브레인에서의 비교교환성이 완전히 제거되어 비교성 D-브레인 평면이 얻어진다.
• 결과로 유도된 해밀토니안 공식화는 세이버그-우든 결과와 일치한다: $ \{x^i, x^j\}_D = -(2\pi\alpha')^2(1 - 2i\pi\alpha' B)^{-1} B (1 + 2i\pi\alpha' B)^{-1} $, 비교성 양밀스 이론과의 이중성을 확인한다.
• 시스템의 상태공간 구조는 캐논ical 변환을 통한 다수의 등가 공식화를 가능하게 하며, 이는 비교교환성이 유일한 것이 아니며 물리적으로 비교성 기술과 동치임을 보여준다.