[논문 리뷰] Opening Pandora's Box: Maximizing the $q$-entropy with Escort Averages

Aruna Bidollina, Thomas Oikonomou외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 01.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 내부 에너지 제약 조건으로 에스크로 평균을 사용하여 비가산적 $q$-엔트로피를 최대화할 때 열역학적 일관성이 있는지 조사한다. 이는 물리적 온도가 시스템의 분할성에 의해 일관되게 정의될 경우, 그러한 최대화가 열역학 제2법칙과 제3법칙을 위반하거나 비가산적 형식론이 불필요해지는 리아니 엔트로피로 효과적으로 전환됨을 보여준다.

ABSTRACT

It is currently a widely used practice to write the constraints in terms of escort averages when the generalized entropies are employed in the maximization scheme. We show that the maximization of the nonadditive $q$-entropy with escort averages leads either to an overall lack of connection with thermodynamics or violation of the second and third laws of thermodynamics if one adopts the Clausius definition of the physical temperature. If an alternative definition of physical temperature is chosen by respecting the divisibility of the total system into independent subsystems, thermodynamic relations are restored albeit at the cost of transforming the nonadditive $q$-entropy into the Rényi entropy. These results are illustrated by studying the quantum mechanical free particle.

연구 동기 및 목표

• 비가산적 $q$-엔트로피를 최대화할 때 내부 에너지 제약 조건으로 에스크로 평균을 사용하는 열역학적 일관성을 평가하는 것.
• 열역학적 온도의 두 경쟁적 정의, 즉 클라우지우스 관계($\beta$)에 기반한 것과 시스템의 분할성($\beta_q$)에 기반한 것의 영향을 분석하는 것.
• 에스크로 평균의 사용이 통계역학과 열역학 간의 연결을 유지하는지 확인하는 것.
• 최종적으로 도출된 평형 분포와 엔트로피 표현이 표준 열역학 법칙과 등분배 정리와 일관성이 있는지 조사하는 것.

제안 방법

• 라그랑주 승수를 사용하여 $q$-엔트로피 함수 $\Phi = S_q/k_B - \alpha(\sum_i p_i - 1) - \beta(U_q - \sum_i p_i^q \varepsilon_i / \sum_k p_k^q)$ 를 공식적으로 최대화하는 것.
• 동일한 에스크로 제약 조건에 기반하여 두 가지 다른 평형 확률 분포 형태를 유도하여 분할 함수와 엔트로피의 서로 다른 표현을 도출하는 것.
• 열역학적 온도 정의의 분석: 클라우지우스 관계에서 유도된 $\beta$ 와 시스템의 분할성에서 유도된 $\beta_q = \partial \ln Z_q / \partial U_q$ 의 비교.
• 등분배 정리와 관계 $S_q = k_B \ln_q Z_q$ 를 통해 열역학적 일관성을 평가하는 것.
• $q$-분할 함수 $Z_q$ 에 따라 엔트로피를 명시적으로 계산하여 $S_q = k_B \ln_q Z_q = k_B (Z_q^{1-q} - 1)/(1 - q)$ 임을 보여주는 것.
• 물리적 온도로 $\beta_q$ 를 채택할 경우 결과로 도출된 엔트로피가 $S_q^{\text{phys}} = k_B \ln Z_q$ 가 되며, 이는 리아니 엔트로피임을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 클라우지우스 온도 정의를 사용할 때, 내부 에너지 제약 조건으로 에스크로 평균을 사용하여 $q$-엔트로피를 최대화하는 것이 열역학적 일관성을 유지하는가?
• RQ2 MaxEnt 형식론에서 에스크로 평균을 사용한 내부 에너지 제약 조건을 적용할 경우 열역학 제2법칙과 제3법칙에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 물리적 온도의 선택, 즉 라그랑주 승수 $\beta$ 를 통한 정의 또는 시스템의 분할성($\beta_q$)을 통한 정의에 따라 열역학적 일관성은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ4 에스크로 평균과 일관된 물리적 온도를 사용할 때 비가산적 $q$-엔트로피 형식론이 리아니 엔트로피와 구별될 수 있는가?
• RQ5 진정한 열역학적 해석으로서의 $q$-분할 함수 $Z_q$ 와 도출된 엔트로피 표현은 무엇인가?

주요 결과

• 물리적 온도를 $\beta$ 로 정의할 경우, 내부 에너지 제약 조건으로 에스크로 평균을 사용하여 $q$-엔트로피를 최대화하면 열역학 제2법칙과 제3법칙을 위반하는 열역학적 일관성 결여가 발생한다.
• 에스크로 제약 조건에서 유도된 평형 분포는 $S_q = k_B \ln_q Z_q$ 를 도출하며, 이는 평균 에너지와의 직접적 연관성이 없고 표준 열역학 관계 $S/k_B = \ln Z + \beta U$ 를 재현하지 못한다.
• 열역학적 일관성을 확보하기 위해 물리적 온도를 $\beta_q = \partial \ln Z_q / \partial U_q$ 로 정의할 경우, 도출된 엔트로피는 $S_q^{\text{phys}} = k_B \ln Z_q$ 가 되며, 이는 리아니 엔트로피이다.
• 물리적 온도로 $\beta_q$ 를 채택하는 것은 비가산적 $q$-엔트로피가 더 이상 관련 엔트로피가 아니며, 대신 리아니 엔트로피가 열역학적 행동을 지배함을 의미한다.
• 에스크로 평균 형식론에서의 캐논리컬 분할 함수는 표준 $\sum_i e^{-\beta \varepsilon_i}$ 와 다름없이 $e^{\beta U_1} \sum_i e^{-\beta \varepsilon_i}$ 의 형태를 띠며, 이는 표준 통계역학의 극한에서 붕괴됨을 나타낸다.
• 물리적 온도로 $\beta_q$ 를 사용할 경우 $S_q$ 에서 $S_q^{\text{phys}} = k_B \ln Z_q$ 로의 전환은 비가산적 $q$-엔트로피가 효과적으로 리아니 엔트로피로 대체됨을 의미하며, 이 경우 비가산적 $q$-엔트로피 형식론은 불필요해진다.