[논문 리뷰] Operads and Phylogenetic Trees

John C. Baez, Nina Otter|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 10.

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한 줄 요약

이 논문은 간선 레이블을 시간 또는 분기 길이로 사용하여 계통수를 연산으로 포괄하는 작도 $φ\mathrm{Phyl}$을 도입한다. $φ\mathrm{Phyl}$의 $n$-항 연산 공간과 $\mathscr{T}_n \times [0,\infty)^{n+1}$ 사이의 호메오멀피즘을 증명하며, 여기서 $\mathscr{T}_n$는 메트릭 $n$-트리의 Billera-Holmes-Vogtmann 공간이다. 또한 계통학적 마르코프 모델이 $\mathrm{Phyl}$에 대한 코알제브라를 유도함으로써 진화 생물학과代수적 위상수학을 연결한다.

ABSTRACT

We construct an operad $\mathrm{Phyl}$ whose operations are the edge-labelled trees used in phylogenetics. This operad is the coproduct of $\mathrm{Com}$, the operad for commutative semigroups, and $[0,\infty)$, the operad with unary operations corresponding to nonnegative real numbers, where composition is addition. We show that there is a homeomorphism between the space of $n$-ary operations of $\mathrm{Phyl}$ and $\mathcal{T}_n imes [0,\infty)^{n+1}$, where $\mathcal{T}_n$ is the space of metric $n$-trees introduced by Billera, Holmes and Vogtmann. Furthermore, we show that the Markov models used to reconstruct phylogenetic trees from genome data give coalgebras of $\mathrm{Phyl}$. These always extend to coalgebras of the larger operad $\mathrm{Com} + [0,\infty]$, since Markov processes on finite sets converge to an equilibrium as time approaches infinity. We show that for any operad $O$, its coproduct with $[0,\infty]$ contains the operad $W(O)$ constucted by Boardman and Vogt. To prove these results, we explicitly describe the coproduct of operads in terms of labelled trees.

연구 동기 및 목표

• 간선 길이를 갖춘 계통수를 대수적 구조의 연산으로 형식화하기 위해.
• 계통학에서 사용되는 간선 레이블이 있는 트리와 대응하는 연산을 갖는 작도 $\mathrm{Phyl}$을 구성하기 위해.
• 작도 $\mathrm{Phyl}$의 $n$-항 연산 공간과 $\mathscr{T}_n \times [0,\infty)^{n+1}$ 사이의 위상적 동치를 확립하기 위해, 여기서 $\mathscr{T}_n$는 메트릭 $n$-트리의 공간이다.
• DNA 진화를 모델링하는 마르코프 과정이 $\mathrm{Phyl}$에 대한 코알제브라를 유도함을 보여주어 확률 모델과 작도적 구조를 연결하기 위해.
• 작도 $O$에 대해 $\mathrm{Com}$과 $[0,\infty)$의 쌍대곱이 Boardman-Vogt 작도 $W(O)$를 포함함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 작도 $\mathrm{Phyl}$을 $\mathrm{Com}$ (교환 법칙을 갖는 반군을 위한 것)와 $[0,\infty)$ (덧셈에 대해 비음수 실수를 위한 것)의 쌍대곱으로 구성한다.
• $\mathrm{Phyl}_n$을, 루트가 있고 $n$개의 잎이 $1,\dots,n$으로 레이블이 붙어 있으며, 간선이 $[0,\infty)$에 레이블이 붙어 있고, 단일 자식을 갖는 정점이 없으며 내부 간선 길이가 양수인 루트 트리의 집합으로 정의한다.
• $\mathrm{Phyl}_n$에 이sovorphism 클래스의 트리와 연속적인 간선 길이 변화(내부 간선이 0이 되는 붕괴 포함)를 기반으로 한 위상을 부여한다.
• 각 트리가 그 기저 메트릭 트리와 $n+1$개의 외부 간선 길이를 갖는, $f: \mathrm{Phyl}_n \to \mathscr{T}_n \times [0,\infty)^{n+1}$의 전단사 사상 수립.
• $\mathscr{T}_n$과 $[0,\infty)^{n+1}$의 위상에서의 기저 원소를 사용하여 $f$가 연속적이고 열린 함수임을 보여 위상 동치를 증명한다.
• 유한 상태 공간에서의 마르코프 과정이 평형 상태로 수렴함을 보이고, 이에 따라 그 코알제브라 구조가 $\mathrm{Com} + [0,\infty]$로 확장되며, 따라서 $\mathrm{Phyl}$으로도 확장됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 간선 길이를 갖는 계통수를 대수적 구조의 연산으로 어떻게 형식화할 수 있는가?
• RQ2 작도 $\mathrm{Phyl}$의 $n$-항 연산 공간의 위상적 구조는 무엇인가?
• RQ3 표준적인 DNA 진화 마르코프 모델이 $\mathrm{Phyl}$에 대한 코알제브라를 유도하는가?
• RQ4 작도의 쌍대곱은 Boardman-Vogt 작도 $W(O)$와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 메트릭 $n$-트리 공간 $\mathscr{T}_n$은 $\mathrm{Phyl}$의 $n$-항 연산 공간의 자연스러운 성분으로 식별될 수 있는가?

주요 결과

• 작도 $\mathrm{Phyl}$의 $n$-항 연산 공간은 $\mathscr{T}_n \times [0,\infty)^{n+1}$와 호메오멀피즘을 이룬다. 여기서 $\mathscr{T}_n$은 메트릭 $n$-트리의 Billera-Holmes-Vogtmann 공간이다.
• 작도 $\mathrm{Phyl}$은 쌍대곱 $\mathrm{Com} + [0,\infty)$와 위상동치이며, 간선 길이의 덧셈으로 정의된 복합 연산을 갖는다.
• 유한 상태 공간에서의 DNA 진화를 모델링하는 마르코프 과정은 시간 $\to \infty$일 때 평형 상태로 수렴함에 따라 $\mathrm{Phyl}$에 대한 코알제브라를 유도한다.
• $\mathrm{Com}$과 $[0,\infty)$의 쌍대곱은 임의의 작도 $O$에 대해 Boardman-Vogt 작도 $W(O)$를 포함하며, 이는 기존의 구성 방법을 일반화한다.
• $\mathrm{Phyl}_n$에 부여된 위상은 이sovorphism 클래스의 트리와 연속적인 간선 길이 변화(낮은 차수로의 붕괴 포함)에 대응하는 열린 집합으로 생성된다.