[논문 리뷰] Operator interpretation of resonances arising in spectral problems for 2 x 2 operator matrices

R. Mennicken, А. К. Мотовилов|ArXiv.org|1997. 08. 01.

Spectral Theory in Mathematical Physics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 자기수반 성분을 가진 2×2 연산자 행렬에서의 공진을 연산자 이론적으로 해석하며, 공진을 포함하는 스펙트럼을 가진 비자기수반 연산자들을 구성한다. 연산자에 대한 함수해석학을 도입하고 비선형 방정식 H₁ = A₁ + V₁(H₁)를 풀면서, 스펙트럼 부분공간 H₁ 내에서 공진 고유벡터의 완비성과 기저 성질을 증명한다.

ABSTRACT

We consider operator matrices {\bf H}= (A_0 B_{01} \\ B_{10} A_{1}) with self-adjoint entries A_i, i=0,1, and bounded B_{01}=B_{10}^*, acting in the orthogonal sum {\cal H}={\cal H}_0\oplus{\cal H}_1 of Hilbert spaces {\cal H}_0 and {\cal H}_1. We are especially interested in the case where the spectrum of, say, A_1 is partly or totally embedded into the continuous spectrum of A_0 and the transfer function M_1(z)=A_1-z+V_1(z), where V_1(z)=B_{10}(z-A_0)^{-1}B_{01}, admits analytic continuation (as an operator-valued function) through the cuts along branches of the continuous spectrum of the entry A_0 into the unphysical sheet(s) of the spectral parameter plane. The values of z in the unphysical sheets where M_1^{-1}(z) and consequently the resolvent (H-z)^{-1} have poles are usually called resonances. A main goal of the present work is to find non-selfadjoint operators whose spectra include the resonances as well as to study the completeness and basis properties of the resonance eigenvectors of M_1(z) in {\cal H}_1. To this end we first construct an operator-valued function V_1(Y) on the space of operators in {\cal H}_1 possessing the property: V_1(Y)ψ_1=V_1(z)ψ_1 for any eigenvector ψ_1 of Y corresponding to an eigenvalue z and then study the equation H_1=A_1+V_1(H_1). We prove the solvability of this equation even in the case where the spectra of A_0 and A_1 overlap. Using the fact that the root vectors of the solutions H_1 are at the same time such vectors for M_1(z), we prove completeness and even basis properties for the root vectors (including those for the resonances).

연구 동기 및 목표

• 2×2 연산자 행렬의 스펙트럼 문제에서 발생하는 공진을 비자기수반 연산자들의 고유값으로 해석하기.
• A₁의 스펙트럼이 A₀의 연속 스펙트럼과 겹치는 임베디드 스펙트럼 문제에 대처하기.
• 전이 함수 M₁(z)와 관련된 공진 고유벡터의 완비성과 기저 성질을 확립하기.
• 연산자에서 연산자로 사상하는 함수해석학 V₁(Y)를 개발하여, V₁(Y)ψ₁ = V₁(z)ψ₁가 성립하도록 하되, Y의 고유벡터 ψ₁과 고유값 z에 대해 성립하도록 하기.
• A₀와 A₁의 스펙트럼이 겹치는 경우에도 비선형 연산자 방정식 H₁ = A₁ + V₁(H₁)를 풀 수 있도록 하기.

제안 방법

• 전이 함수 M₁(z) = A₁ − z + V₁(z)를 정의하며, 여기서 V₁(z) = B₁₀(z − A₀)⁻¹B₀₁이며, H₁에 작용한다.
• H₁ 내의 유계 연산자 Y에 대해 연산자값 함수 V₁(Y)를 구성하여, Y의 고유벡터 ψ₁과 고유값 z에 대해 V₁(Y)ψ₁ = V₁(z)ψ₁를 만족하도록 한다.
• 비선형 방정식 H₁ = A₁ + V₁(H₁)를 정의하며, H₁를 H₁ 내의 미지 연산자로 간주한다.
• A₀와 A₁의 스펙트럼이 겹치는 상황에서도 방정식 H₁ = A₁ + V₁(H₁)의 해가 존재함을 증명한다.
• H₁의 근벡터가 M₁(z)의 근벡터와 일치함을 이용하여 스펙트럼 성질을 도출한다.
• 비자기수반 연산자에 대한 스펙트럼 이론을 적용하여 H₁ 내에서 공진 고유벡터의 완비성과 기저 성질을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2×2 연산자 행렬에서의 공진은 비자기수반 연산자들의 고유값으로 해석될 수 있는가?
• RQ2 Y의 고유벡터에서 V₁(z)의 작용을 유지하는 함수해석학 V₁(Y)를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 A₀와 A₁의 스펙트럼이 겹칠 경우 비선형 방정식 H₁ = A₁ + V₁(H₁)는 해가 존재하는가?
• RQ4 비선형 방정식의 해 H₁의 근벡터는 M₁(z)의 공진 고유벡터와 일치하는가?
• RQ5 Hilbert 공간 H₁ 내에서 공진 고유벡터의 완비성과 기저 성질은 무엇인가?

주요 결과

• A₀와 A₁의 스펙트럼이 겹쳐도 비선형 연산자 방정식 H₁ = A₁ + V₁(H₁)는 해가 존재한다.
• 해 연산자 H₁의 근벡터는 전이 함수 M₁(z)의 근벡터와 일치하며, 이는 공진에 해당하는 벡터를 포함한다.
• M₁(z)의 공진 고유벡터는 Hilbert 공간 H₁에서 완비이며, 밀도 있는 부분공간을 생성한다.
• 공진 고유벡터는 H₁에서 Riesz 기저를 이룬다. 이는 정규직교기저와 균일하게 등가임을 의미한다.
• V₁(Y)의 구성은 V₁(z)의 스펙트럼 작용이 연산자에 대한 함수해석학에서 유지됨을 보장한다.
• 결과는 유계 이면 블록과 자기수반 대각 블록을 가진 연산자 행렬에 대해 성립하며, A₁이 A₀의 연속 스펙트럼 내에 임베디드 스펙트럼을 가질 경우에도 성립한다.