[논문 리뷰] Operator Noncommutativity and Irreversibility in Quantum Chaos

Ryusuke Hamazaki, Kazuya Fujimoto외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 06.

Quantum many-body systems인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 초기 국소화된 상태에서 양자 혼돈에서 연산자 비환류성과 비가역성 사이의 정량적 등가성을 확립한다. 제곱된 교환자 $ C_{AB}(t) $ 가 4점의 비순서상관관계(4-OTOCs)가 아니라 3점의 비순서상관관계(3-OTOCs)에 의해 지배됨을 보여주며, 비가역성은 시간 반전 테스트로 측정되며, 시스템이 국소화된 상태에서 시작될 경우 비환류성 증가와 일치한다. 이는 동역학에서 고차항 보정이 억제되기 때문에 $ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $ 가 성립한다.

ABSTRACT

We argue that two distinct probes of quantum chaos, i.e., the growth of noncommutativity of two unequal-time operators and the degree of irreversibility in a time-reversal test, are equivalent for initially localized states. We confirm this for interacting nonintegrable many-body systems and a quantum kicked rotor. Our results show that three-point out-of-time-ordered correlators dominate the growth of the squared commutator for initially localized states, in stark contrast to four-point out-of-time-ordered correlators that have extensively been studied for thermal initial states.

연구 동기 및 목표

• 양자 혼돈의 두 개별 측정도구인 연산자 비환류성과 비가역성 사이의 정량적 연결을 수립하기 위해.
• 비가역성 측정도구 $ I_{AB}(t) $ 와 제곱된 교환자 $ C_{AB}(t) $ 간의 관계를 밝혀내는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 초기 국소화된 상태에서 3-OTOCs 가 비환류성 증가에 지배적인 이유를 명확히 하기 위해, 열적 상태에서 관찰되는 4-OTOC 지배와 대비하여.
• 국소화된 초기 상태에서 특정 동역학 조건 하에 $ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $ 가 성립하는 이론적 프레임워크를 제공하고 수치적 확인을 수행하기 위해.

제안 방법

• 제곱된 교환자 $ C_{AB}(t) $ 와 비가역성 측정도구 $ I_{AB}(t) $ 간의 일반적 관계를 유도하여, $ \frac{C_{AB}(t)}{I_{AB}(t)} = \left(1 + \alpha_t \sqrt{\frac{D_{AB}(t)}{I_{AB}(t)}}\right)^2 $ 를 도출하며, 여기서 $ \alpha_t $ 는 $ |\alpha_t| \leq 1 $ 를 만족하는 시간에 따라 변하는 인자이다.
• 시간 순서 상관관계 $ D_{AB}(t) = \langle \hat{B}^\dagger \hat{A}(t)^\dagger \hat{A}(t) \hat{B} \rangle $ 를 도입하고 분석하여, 국소화된 초기 상태에서 $ \frac{D_{AB}(t)}{I_{AB}(t)} \ll 1 $ 임을 보여주며, 이는 $ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $ 를 정당화한다.
• 반고전적 근사를 사용하여 $ C_{AB}(t) $ 의 짧은 시간 내 기하급수적 증가를 분석하고, 고전 궤도의 리아푸노프 불안정성과 연결한다.
• 국소화된 초기 파동패킷을 가진 비적분가능한 다체계와 양자 킥드 로터에서 수치 시뮬레이션을 수행하여 등가성을 검증한다.
• $ D_{AB}(t)/I_{AB}(t) \ll 1 $ 를 만족하는 조건의 타당성을 수량화하는 $ s_t $ 와 $ r_t $ 를 정의하고 평가하여, 킥드 로터 모델에서 $ t \gtrsim 3 $ 에서 등가성이 확인됨을 보인다.
• $ I_{AB}(t) $ 와 $ C_{AB}(t) $ 의 장기적 행동을 분석하여, 킥드 로터에서 $ I_{AB}(t) \propto t^2 $ 임을 보여주며, 이는 $ C_{AB}(t) \propto t^2 $ 를 의미한다. 이 결과는 반고전 이론에서 포착되지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 국소화된 상태를 가진 양자 혼돈 시스템에서 제곱된 교환자 $ C_{AB}(t) $ 의 증가가 시간 반전 테스트로 측정된 비가역성 $ I_{AB}(t) $ 와 등가인가?
• RQ2 왜 국소화된 초기 상태에서는 3점 비순서상관관계(3-OTOCs)가 $ C_{AB}(t) $ 의 증가를 지배하는가? 이는 열적 상태에서 관찰되는 4-OTOC 지배와 대비된다.
• RQ3 어떤 동역학 조건이 $ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $ 를 보장하는가? 그리고 이러한 조건은 $ D_{AB}(t) $ 와 같은 시간 순서 상관관계를 통해 어떻게 수량화할 수 있는가?
• RQ4 비적분가능한 다체계와 주기적으로 구동되는 시스템인 양자 킥드 로터에서 비환류성과 비가역성 간의 등가성은 어떻게 나타나는가?
• RQ5 장기적 행동인 $ C_{AB}(t) \propto t^2 $ 는 반고전 근사 한계를 초월하여, 특히 에렌페스트 시간 이후에도 해석적으로 이해할 수 있는가?

주요 결과

• 초기 국소화된 상태에서 제곱된 교환자 $ C_{AB}(t) $ 는 비가역성 측정도구 $ I_{AB}(t) $ 와 정량적으로 등가이며, $ C_{AB}(t) \simeq I_{AB}(t) $ 를 만족한다. 이는 $ D_{AB}(t)/I_{AB}(t) \ll 1 $ 이기 때문이다.
• 국소화된 초기 상태에서 $ C_{AB}(t) $ 의 증가는 4-OTOCs 가 아니라 3-OTOCs 에 의해 지배되며, 이는 열적 상태에서 관찰되는 4-OTOC 지배와 대비된다.
• 효과적 플랑크 상수 $ \hbar_{\text{eff}} = 2^{-6} $ 인 킥드 로터에서 $ t \gtrsim 3 $ 에서 $ C_{pp}(t) \simeq I_{pp}(t) $ 가 성립하며, 양측 모두 장기적으로 $ t^2 $ 로 증가함을 보여주며, 이는 장기적으로 기하급수적 증가가 아닌 확산 유사한 증가를 의미한다.
• 반고전 근사는 에렌페스트 시간 $ t_E \simeq 4 $ 이전에 $ C_{pp}(t) $ 의 기하급수적 증가를 예측하며, 등가성 $ C_{pp}(t) \simeq I_{pp}(t) $ 는 짧은 시간 내 비가역성의 기하급수적 증가를 암시한다.
• 등가성의 타당성은 $ s_t $, $ r_t $, 및 $ \sqrt{s_t r_t} $ 의 시간 진화를 통해 확인되며, $ t \gtrsim 3 $ 에서 $ C_{AB}(t) $ 와 $ I_{AB}(t) $ 간의 관계에서 보정 항의 소소함을 보장하는 조건을 충족한다.
• 장기적 행동인 $ C_{pp}(t) \propto t^2 $ 는 물리적 논리로 분석적으로 지지되며 수치적으로 확인되었으며, 표준 반고전 근사의 범위를 초월한다.