[논문 리뷰] Operator of Time and Properties of Solutions of Schroedinger Equation for Time Dependent Hamiltonian

Slobodan Prvanović, D. Arsenović|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 24.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비상대론적 양자역학에서 시간을 위치와 운동량과 동등한 관측 가능량으로 포함하는 자기수반 시간 연산자에 대해 제안한다. 힐버트 공간 체계를 확장하여 시간을 관측 가능량으로 도입하고, 시간에 의존하는 해밀토니안의 두 유형—덧셈형 및 곱셈형—에 대해 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식의 해의 성질을 도출한다. 이들 해의 시간에 의존하는 부분은 일반화된 디랙 델타 함수처럼 행동하며, 시간에 의존하는 위상 조절을 통한 정규직교성, 완비성, 푸리에 유사 변환을 정의한다.

ABSTRACT

Within the framework of self-adjoint operator of time in non-relativistic quantum mechanics some properties of solutions of Schroedinger equation, related to Hilbert space formalism, are investigated for two types of time dependent Hamiltonian.

연구 동기 및 목표

• 양자역학의 힐버트 공간 체계를 확장하여 위치와 운동량 연산자와 유사한 자기수반 시간 연산자를 도입하는 것.
• 이 확장된 체계 내에서 시간에 의존하는 해밀토니안에 대해 슈뢰딩거 방정식의 시간에 의존하는 부분을 체계적으로 분석하는 것.
• 시간에 의존하는 해밀토니안의 일반화된 고유함수에 대해 정규직교성, 완비성, 변환 성질을 확립하는 것.
• 이 확장된 힐버트 공간 체계에서 슈뢰딩거 방정식이 비음성 에너지를 가진 물리적 상태를 선택하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 자기수반 시간 연산자 $\hat{t}$ 와 그 쌍대 에너지 연산자 $\hat{s}$ 가 작용하는 힐버트 공간 $\mathcal{H}_t$ 를 도입하고, 표준 교환관계 $[\hat{t}, \hat{s}] = i\hbar\hat{I}$ 를 만족시키는 것을 보장한다.
• 해를 $|q\rangle \otimes |t\rangle$ 기저로 표현하여 표준 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식 $i\hbar \partial_t \psi(q,t) = \hat{H} \psi(q,t)$ 를 유도한다.
• $H = H_0 + g(t)$ 인 경우, 해를 $\psi_E(q) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ih(t)} e^{iEt}$ 로 유도하고, $h(t) = \int g(t) dt$ 를 정의하며, 시간에 의존하는 푸리에 변환 $\mathcal{F}_h$ 를 도입한다.
• $H = H_0 \cdot g(t)$ 인 경우, 해를 $\psi_E(q) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-iE h(t)}$ 로 유도하고, 일반화된 변환 $\mathcal{F}_h f(t) = \int f(t) e^{-iE h(t)} dt$ 를 정의하며, 변수 변경을 통해 표준 푸리에 변환과 관련지어진다.
• 일반화된 고유함수와 그 쌍대함수를 사용하여 이중직교성과 항등식 분해를 확립하고, $\langle E', h, \perp | E, h \rangle = \delta(E - E')$ 를 보여준다.
• 분포 이론 분석을 통해 함수 $S(E) = \frac{1}{2\pi} \int e^{iE h(t)} dt$ 가 정규분포로 존재함을 정의하고, 역푸리에 변환을 통해 역함수의 야코비안과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파울리의 정리에 비추어 볼 때, 비상대론적 양자역학에서 시간 연산자를 일관적으로 자기수반 연산자로 정의할 수 있는가?
• RQ2 시간을 관측 가능량으로 간주할 경우, 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식의 해가 가지는 수학적 및 물리적 성질은 무엇인가?
• RQ3 확장된 힐버트 공간 체계에서 덧셈형 또는 곱셈형 시간 의존 해밀토니안을 가진 경우, 파동함수의 시간에 의존하는 부분은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 이 체계에서 슈뢰딩거 방정식은 비음성 에너지를 가진 물리적 상태를 선택하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 시간에 의존하는 위상 조절을 가진 해에 대해 일반화된 푸리에 변환은 어떻게 정의할 수 있으며, 그 역변환 및 정규직교성 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 해밀토니안 $H = H_0 + g(t)$ 인 경우, 해의 시간에 의존하는 부분은 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ih(t)} e^{-iEt}$ 로 표현되며, 이는 연산자 $i\partial_t - g(t)$ 에 대한 완비성과 정규직교성을 만족하는 일반화된 고유함수 집합을 이룬다.
• 변환 $\mathcal{F}_h f(t) = \int f(t) e^{-ih(t)} e^{-iEt} dt$ 는 $f(t) e^{-ih(t)}$ 의 표준 푸리에 변환과 동일하므로, 표준 조화 분석 도구를 적용할 수 있다.
• $H = H_0 \cdot g(t)$ 인 경우, 시간에 의존하는 해의 부분 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-iE h(t)}$ 는 정규직교성이 없지만, 그 쌍대함수 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} h'(t) e^{-iE h(t)}$ 가 이중직교성과 항등식 분해를 보장한다.
• 일반화된 변환 $\mathcal{F}_h f(t) = \int f(t) e^{-iE h(t)} dt$ 는 $\mathcal{F}(f(h^{-1}(t)) \cdot |dh^{-1}/dt|)$ 와 관련지어져 있어 명시적인 역변환을 가능하게 한다.
• 함수 $S(E) = \frac{1}{2\pi} \int e^{iE h(t)} dt$ 는 분포로서 존재하며, $S(E) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ \mathcal{F}^{-1} \left( \left( \frac{dh^{-1}}{dt} \right)^* \right) \right]^*$ 로 표현되어, 역푸리에 변환의 야코비안과 연결된다.
• 전체 해 $\psi_E(q,t) = \psi_E(q) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-iE h(t)}$ 는 $\psi_E(q)$ 의 정규직교성 덕분에 $E$ 에 대해 정규직교성을 유지하나, 시간 부분 자체는 정규직교성이 아니다.