[논문 리뷰] Operator scrambling and quantum chaos

Xiaohong Chen, Tianci Zhou|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 23.

Quantum chaos and dynamical systems인용 수 42

한 줄 요약

논문은 세 모델에서 연산자 스크램블링을 분석하고(혼돈적 스핀-1/2 체인, 2-로컬 스핀 모델, 그리고 수정된 양자 선형 맵) 연산자 엔탱글먼트 엔트로피와 스펙트럼 상관이 스크램블링과 양자 혼돈을 신호하는 방식, 서로 다른 스크램블링 시간과 C(t)의 거동을 보인다.

ABSTRACT

Operator scrambling is a crucial ingredient of quantum chaos. Specifically, in the quantum chaotic system, a simple operator can become increasingly complicated under unitary time evolution. This can be diagnosed by various measures such as square of the commutator (out-of-time-ordered correlator), operator entanglement entropy etc. In this paper, we discuss operator scrambling in three representative models: a chaotic spin-$1/2$ chain with spatially local interactions, a 2-local spin model and the quantum linear map. In the first two examples, although the speeds of scrambling are quite different, a simple Pauli spin operator can eventually approach a "highly entangled" operator with operator entanglement entropy taking a volume law value (close to the Page value). Meanwhile, the spectrum of the operator reduced density matrix develops a universal spectral correlation which can be characterized by the Wishart random matrix ensemble. In the second example, we further connect the 2-local model into a one dimensional chain and briefly discuss the operator scrambling there. In contrast, in the quantum linear map, although the square of commutator can increase exponentially with time, a simple operator does not scramble but performs chaotic motion in the operator basis space determined by the classical linear map. We show that once we modify the quantum linear map such that operator can mix in the operator basis, the operator entanglement entropy can grow and eventually saturate to its Page value, thus making it a truly quantum chaotic model.

연구 동기 및 목표

• 연구 혼돈의 진단으로서 연산자 스크램블링을 동기 부여하고 정의한다.
• 세 가지 대표 모델(혼돈성 국소-스핀 체인, 2-로컬 해밀토니안, 양자 선형 맵)에서 스크램블링 역학을 탐구한다.
• 연산자 엔탱글먼트 엔트로피와 환원 밀도 행렬 스펙트럼으로 스크램블링을 특징화한다.
• 모델 간 Lyapunov 유사 성장 규칙과 스크램블링 시간을 비교한다.
• 연산자 기저에서 보편적 스펙트럴 상관이 언제 어떻게 나타나는지 보인다.

제안 방법

• 헤젠베르크 진화 연산자와 Pauli 기저로의 전개를 통해 연산자 스크램블링을 정의한다.
• 연산자 길이/높이 분포와 환원 밀도 행렬을 이용해 스크램블링(연산자 EE와 엔탱글먼트 스펙트럼)을 정량화한다.
• 혼돈 다이나믹스 진단자로서 제곱된 교환자 C(t)를 분석한다.
• 연산자-환원 밀도 행렬의 스펙트럴 포맷 포아를 계산해 Wishart-랜덤매트릭스 유사한 상관을 탐지한다.
• 양자 선형 맵의 경우 연산자 공간의 혼돈과 진정한 스크램블링 간의 차이를 비교하고, 비선형 교란이 스크램블링을 유도하는 방식과 그때의 연산자 EE가 페이지 값을 포화하고 스펙트럴 상관이 나타남을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 혼돈 양자 시스템에서 연산자 스크램블링은 어떻게 나타나는가(로컬 대 비로컬 상호작용)?
• RQ2 연산자 엔탱글먼트 엔트로피와 스펙트럴 상관은 모델 간 스크램블링과 혼돈 진단에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 양자 선형 맵이 진정한 스크램블링을 보일 수 있는가, 그리고 교란은 이 거동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 각 모델에서 시스템 크기나 맵 매개변수에 따른 특징적 스크램블링 시간은 무엇인가?
• RQ5 연산자 스펙트럼에서 무작위 행렬 이론의 시그니처(Wishart 모듈)가 스크램블링이 진행되면서 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 혼돈 스핀-1/2 체인에서 로컬 Pauli 연산자는 시스템 크기에 비례하는 스크램블링 시간으로 비국소적으로 증가하며(지수적 C(t) 거동 구간이 없음).
• 2-로컬 해밀토니안에서 스크램블링은 빠르며 스크램블링 시간은 log N으로 스케일링하고, 초기 시기에 C(t)는 지수적으로 증가한다; 연산자 EE는 페이지 값에 접근하고 스펙트럴 상관은 Wishart 모임으로 나타난다.
• 양자 선형 맵에서 C(t)는 고전 혼돈으로 인해 지수적으로 증가할 수 있지만 비선형 교란이 추가될 때까지 연산자 공간에서의 스크램블링은 발생하지 않으며, 그때 연산자 EE가 페이지 값으로 포화하고 스펙트럴 상관이 나타난다; 스크램블링 시간은 f(κ) log K의 함수로 스케일링된다.
• 연산자-환원 밀도 행렬에서의 보편적 스펙트럴 상관의 등장(스펙트럴 포맷 포아를 통한)은 부분계의 완전한 스크램블링과 함께 나타난다.
• 1차원 확장 및 피셔/Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov 역학은 공간에서 연산자 증가에 대해 이동파 형태의 거동을 시사하며, 이는 확장된 시스템에서의 스크램블링에 대응한다.