[논문 리뷰] Operator Size for Holographic Field Theories

Alexandros Mousatov|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 12.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 51인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 헬로그래픽 CFT에 대해 상태에 의존하는 연산자 크기 정의를 제안하며, Qi-Streicher 공식을 고차원 AdS 기하학으로 일반화한다. 연산자 크기를 블랙홀 기하학 내의 복합 관측량으로 식별한다—특히 BTZ 블랙홀에서는 크루스칼 운동량의 합이며, 진공 AdS₃에서는 전역 해밀토니안이다. 이는 들어오는 관찰자 주변 중력장 내 가상의 중력파수를 나타내는 이중 해석을 제공하며, 블랙홀 엔트로피 척도에서 포화된다.

ABSTRACT

We formulate a state-dependent definition of operator size that captures the effective size of an operator acting on a reference state. We apply our definition to the SYK model and holographic 2-dimensional CFTs, generalizing the Qi-Streicher formula to a large class of geometries which includes pure AdS$_3$ and BTZ black holes. In pure AdS$_3$, the operator size is proportional to the global Hamiltonian at leading order in $1/N$, mirroring the results of Lin-Maldacena-Zhao in AdS$_2$. For BTZ geometries, it is given by the sum of the Kruskal momenta. Higher $1/N$ corrections become relevant when backreaction gets large, and we expect a transition in the growth pattern that depends on the transverse profile of the excitation. We propose a bulk dual that captures this profile dependence and exhibits saturation at a size of order the black hole entropy. This bulk dual is an averaged eikonal phase over a class of scattering events, and it can be interpreted as the "number of virtual gravitons" in the gravitational field created by an infaller.

연구 동기 및 목표

• 열 밀도 행렬을 초월하여 순수 상태와 무한차원 장 이론에 대해 Qi-Streicher 공식을 연산자 크기 정의로 확장하기.
• 헬로그래픽 2차원 CFT 및 SYK 유사 모델에 적용 가능한 일관되고 상태에 의존하는 연산자 크기 정의를 수립하기.
• 순수한 AdS₃ 및 BTZ 블랙홀 기하학 내에서 연산자 크기의 블랙홀 중력 이중성을 규명하기.
• 연산자 크기를 충격파 강도 및 가상의 중력파수와 같은 블랙홀 내 물리적 관측량과 연결하기.
• 고차 $1/N$ 보정이 연산자 크기 성장에 어떻게 영향을 주며, 뒷바瞎에 의한 역동성 전이를 어떻게 나타내는지 탐색하기

제안 방법

• 참조 상태 $|\Psi\rangle$ 에 작용하는 양의 준정적, 에르미트 연산자 $\hat{S}_{|\Psi\rangle}$ 의 기대값으로 연산자 크기를 정의한다. 즉, $S_{|\Psi\rangle}(\mathcal{O}) = \frac{\langle\Psi|\mathcal{O}^\dagger \hat{S}_{|\Psi\rangle} \mathcal{O}|\Psi\rangle}{\langle\Psi|\mathcal{O}^\dagger \mathcal{O}|\Psi\rangle}$.
• 이 정의를 사용해 고도로 대칭된 상태, 즉 열장 이중 $|\beta\rangle$, 시간 이동된 열장 이중, 단일 측면 블랙홀 상태에서 $\hat{S}_{|\Psi\rangle}$ 를 계산한다.
• 진공 AdS₃의 경우, $\hat{S}_{|\Psi\rangle}$ 가 $1/N$ 의 주요 순서에서 전역 해밀토니안에 비례하며, Lin-Maldacena-Zhao의 결과와 일치함을 보인다.
• BTZ 블랙홀의 경우, $\hat{S}_{|\Psi\rangle}$ 가 크루스칼 운동량의 합으로 식별되며, 이는 연산자 크기와 충격파 강도를 직접 연결한다.
• 블랙홀 내 산란 사건을 통한 평균 이코날 위상으로의 블랙홀 이중 해석을 제안하며, 이는 들어오는 관찰자 주변 중력장 내 가상의 중력파수를 나타낸다.
• 연산자 크기가 유한하고 연속적으로 유지되는 조건을 확립하며, 이는 상태의 수준 분포가 $|c_n|^2 \lesssim C_1 e^{-\beta n}$ 와 같이 지수적으로 감소함을 요구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 헬로그래픽 CFT의 순수 상태에 대해 열 밀도 행렬을 초월하여 연산자 크기를 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 진공 AdS₃ 및 BTZ 블랙홀 기하학 내에서 연산자 크기의 블랙홀 중력 이중성은 무엇인가?
• RQ3 연산자 크기는 시간에 따라 어떻게 성장하는가? 그리고 $1/N$ 보정은 이 성장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 연산자 크기를 가상의 중력파수와 같은 블랙홀 내 물리적 관측량으로 해석할 수 있는가?
• RQ5 연산자 크기의 포화 척도는 무엇에 의해 결정되며, 블랙홀 엔트로피와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 진공 AdS₃에서, 연산자 크기는 $1/N$ 의 주요 순서에서 전역 해밀토니안에 비례하며, AdS₂에서 Lin-Maldacena-Zhao의 결과와 일치한다.
• BTZ 블랙홀의 경우, 연산자 크기는 크루스칼 운동량의 합으로 주어지며, 충격파 강도 및 중력 역학과 직접 연결된다.
• 뒤바瞎이 클 경우 고차 $1/N$ 보정이 중요해지며, 이는 연산자 크기 성장 패tern의 잠재적 전이를 시사한다.
• 연산자 크기는 블랙홀 엔트로피 척도에서 포화되며, 베켄슈타인-호킹 엔트로피와 관련된 근본적인 한계를 시사한다.
• 연산자 크기의 블랙홀 이중은 산란 과정에 대한 평균 이코날 위상으로 해석되며, 이는 들어오는 관찰자 주변 중력장 내 가상의 중력파수를 나타낸다.
• 이 정의는 수준 분포가 지수적으로 감소하는 '합리적인' 상태에 대해 연산자 크기가 유한하고 연속적이며, 시간에 따른 연산자에 대한 병리적 행동를 방지한다.