[논문 리뷰] Operators near completely polynomially dominated ones and similarity problems

Cătălin Badea|arXiv (Cornell University)|2001. 02. 20.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 β-이차적 가까움의 개념을 통해 완전히 다항식적으로 지배되는 연산자에 가까운 연산자들이 원래 연산자와 가중 unilateral shift의 직합에 의해 지배되는 연산자들과 유사하다는 것을 증명한다. 주요 기여는 Paulsen의 작업을 확장한 정교화된 유사성 기준을 제시하고, CAR-값을 가진 Foguel-Hankel 연산자에 대한 문제의 부분적인 사례를 해결한 것이다. 이는 Rota의 정리의 바나흐 공간 버전을 포함한다.

ABSTRACT

Let T and C be two Hilbert space operators. We prove that if T is near, in a certain sense, to an operator completely polynomially dominated with a finite bound by C, then T is similar to an operator which is completely polynomially dominated by the direct sum of C and a suitable weighted unilateral shift. Among the applications, a refined Banach space version of Rota similarity theorem is given and partial answers to a problem of K. Davidson and V. Paulsen are obtained. The latter problem concerns CAR-valued Foguel-Hankel operators which are generalizations of the operator considered by G. Pisier in his example of a polynomial bounded operator not similar to a contraction.

연구 동기 및 목표

• 완전히 다항식적으로 지배되는 연산자에 가까운 연산자들이 원래 연산자와 가중 unilateral shift의 직합에 의해 지배되는 연산자들과 유사한지 조사한다.
• 스펙트럼 반경이 1보다 작은 바나흐 공간 연산자에 대해 Rota의 유사성 정리의 개선된 버전을 제공한다.
• K. Davidson과 V. Paulsen가 제기한 CAR-값을 가진 Foguel-Hankel 연산자들이 수축으로 유사한지에 대한 추측을 다룬다.
• Paulsen의 완전히 다항식적으로 유계인 유사성 기준을 더 넓은 유형의 근접 연산자로 확장한다.
• 이소메트리/유니터리에 대한 유사성의 안정성을 점점 가까운 근처에서 유지하는지 분석하고, 다항식적으로 유계일 뿐인 경우의 유사성 실패를 분석한다.

제안 방법

• Hilbert 공간 연산자 T와 C 사이의 β-이차적 가까움을 정의한다. 이는 차수 n에 따라 T^n - V₁C^nV₂의 노름을 제어하는 수열 β(n)에 의해 정의된다.
• 분해 x = Σ T^k x_k에 대해 가중치 β(k)를 사용한 최소값을 통해 새로운 노름 |x|를 정의하여 새로운 바나흐 공간의 구조를 구성한다.
• Cauchy-Schwarz 부등식과 연산자 노름 추정을 적용하여 T와 C ⊕ S_w(β)에 의해 지배되는 연산자 사이의 유사성 상수를 유계화한다.
• 주요 유사성 결과(정리 3.3)를 T^k - V₁C^kV₂의 노름과 가중 수열 β에 관한 핵심 기술적 추정(정리 4.1)으로 환원한다.
• 수반 연산자와 스펙트럼 반경 제어를 이용하여 점점 가까운 등급/유니터리가 등급/유니터리와 유사하다는 것을 보인다.
• ℓ_p(X) 위의 몫 노름 구조를 적용하여 X 위의 새로운 노름을 정의함으로써 바나흐 공간 Rota 유형 정리의 증명을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전히 다항식적으로 지배되는 연산자 C에 가까운 연산자 T가 수축과 유사해지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 Davidson와 Paulsen가 제기한 바와 같이, CAR-값을 가진 Foguel-Hankel 연산자에 대해 수축과의 유사성을 특성화할 수 있는가?
• RQ3 수축과의 유사성은 β-이차적 가까움의 클래스에서 안정적인가?
• RQ4 등급/유니터리에 점점 가까운 경우, 그와 유사한가?
• RQ5 가중 노름과 가중 shift의 직합을 사용하여 Rota의 정리가 바나흐 공간으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 완전히 다항식적으로 지배되는 연산자 C에 β-이차적으로 가까운 연산자 T는 C ⊕ S_w(β)에 의해 완전히 다항식적으로 지배되는 연산자와 유사하다. 여기서 S_w(β)는 가중 unilateral shift이다.
• 유사성 상수는 [||V₁||²/γ² + s²]^{1/2} [γ²||V₂||² + β(0)²]^{1/2}로 유계화되며, s ≠ 0일 경우 γ는 [β(0)||V₁*|| / (s||V₂||)]^{1/2}로 선택된다.
• s = 0이면 T는 C에 의해 완전히 다항식적으로 지배되며, 유사성 상수는 ||V₁||·||V₂||로 유계화된다.
• 점점 가까운 등급은 등급과 유사하고, 점점 가까운 유니터리는 유니터리와 유사하다. 그러나 다항식적으로 유계인 연산자가 수축에 가까운 경우, 그와 유사한 수축이 되지 않을 수 있다.
• 바나흐 공간 버전의 Rota 정리가 증명된다: p > 1 이고 X 위의 T가 스펙트럼 반경 < 1을 가질 경우, T는 ℓ_p(X)와 동형인 공간 위의 연산자 T₁과 유사하며, T₁은 ℓ_p(X) 위의 unilateral shift에 의해 완전히 다항식적으로 지배된다.
• 논문은 CAR-값을 가진 Foguel-Hankel 연산자가 수축과 유사해지기 위한 충분조건을 제공하여, Davidson-Paulsen 문제의 부분 사례를 해결한다.