[논문 리뷰] Optimal actuator design for vibration control based on LQR performance and shape calculus

M. Sajjad Edalatzadeh, Dante Kalise외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Topology Optimization in Engineering참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 제어 성능 지표인 선형 제곱조절기(LQR) 비용 함수와 위상도수를 활용하여 Euler-Bernoulli 빔에서 진동 제어를 위한 액추에이터 설계를 최적화하기 위한 형태 미분 기반 방법을 제안한다. 최적의 액추에이터 형상은 LQR 비용의 위상도수의 정적 점으로서 공식화되며, 수치적 실현을 위해 레벨셋 방법이 사용된다. 이로 인해 비용이 1000배 감소하고, Kelvin-Voigt 점성에 의한 감쇠 조건에서 안정적이고 다중 구성 요소로 이루어진 액추에이터 형상으로 수렴한다.

ABSTRACT

Optimal actuator design for a vibration control problem is calculated. The actuator shape is optimized according to the closed-loop performance of the resulting linear-quadratic regulator and a penalty on the actuator size. The optimal actuator shape is found by means of shape calculus and a topological derivative of the linear-quadratic regulator (LQR) performance index. An abstract framework is proposed based on the theory for infinite-dimensional optimization of both the actuator shape and the associated control problem. A numerical realization of the optimality condition is presented for the actuator shape using a level-set method for topological derivatives. A Numerical example illustrating the design of actuator for Euler-Bernoulli beam model is provided.

연구 동기 및 목표

• 피드백 LQR 성능 기반 분포 매개변수 시스템에서 최적의 액추에이터 형상 설계를 위한 체계적 프레임워크 개발
• 액추에이터 위치 최적화를 초과하는 최적의 액추에이터 형상 설계를 위한 이론적 및 수치적 방법의 부족 문제 해결
• 형상에 따라 제어 연산자가 변하는 선형 진화 방정식에 대한 추상적 최적 제어 문제의 잘 정의됨을 보장
• 공간 및 시간 이산화에 따른 최적 액추에이터 형상 수렴 조건 설정
• 점성 및 Kelvin-Voigt 감쇠 조건이 있는 선형 Euler-Bernoulli 빔 모델에 대해 제안된 방법의 효과성 입증

제안 방법

• 허용 가능한 제어 입력 u 및 액추에이터 형상 r에 대해 LQR 비용 함수 J(u,r;z₀)의 최소화를 통해 최적 액추에이터 설계 공식화
• 작은 구멍의 삽입 또는 제거에 대한 민감도를 통해 최적 액추에이터 형상을 특성화하기 위해 LQR 비용 함수의 위상도수 도입
• 위상도수를 이용해 액추에이터 형상의 필요 최적성 조건 유도 → 레벨셋 함수의 부호 조건 도출
• 서명 거리 함수를 사용한 레벨셋 방법을 통해 액추에이터 경계를 진화시키며, 위상도수 기반 경사에 따라 형상 갱신
• 부적절한 해를 피하고 수렴을 보장하기 위해 페널티 파라미터 α에 대한 선형 탐색 및 계속 전략 구현
• 빔 동역학을 첫 N=40개 고유모드로 이산화하고, 이를 바탕으로 리카티 방정식을 풀어 칼만 이득과 비용 함수를 수치적으로 계산

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 분포 매개변수 시스템에 대한 최적 액추에이터 형상은 LQR 비용 함수의 위상도수를 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ2 Kelvin-Voigt 감쇠가 포함된 경우, 공간 이산화에 따른 최적 액추에이터 형상의 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 위상도수 기반 최적성 조건을 갖춘 제안된 레벨셋 방법은 안정적이고 다중 구성 요소의 액추에이터 형상을 도출하는가?
• RQ4 액추에이터 크기 제약 조건 및 제어 페널티는 최적 액추에이터의 수렴성과 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 방법은 비선형 유연한 구조로 확장 가능한가? 그리고 구조적 감쇠가 없는 경우의 제한 사항은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 방법은 70회의 반복 동안 LQR 비용 함수 J₁,N를 1000배 감소시켜 뚜렷한 성능 향상을 보였다.
• 최적 액추에이터 형상은 초기 조건의 절점 구조(sin(3πx))와 일치하는 안정적이고 이원형 구성으로 수렴하였다.
• 점성 및 Kelvin-Voigt 감쇠 조건이 모두 존재할 경우, 고유모드 수가 증가함에 따라 칼만 이득과 최적 액추에이터 형상이 수렴하였다.
• Kelvin-Voigt 감쇠가 없는 경우(Cd=0), 칼만 이득은 수렴하지 못했고, 고차원 근사에서 최적 액추에이터 형상은 더 많은 구성 요소로 분할되는 경향을 보였다.
• 선형 탐색 및 α에 대한 계속 전략을 통한 레벨셋 알고리즘은 부적절한 해를 효과적으로 피하고, 비용 감소가 단조롭게 유지됨을 보였다.
• 최적 액추에이터를 사용한 피드백 제어 성능은 크기가 동일한 단일 구성 요소의 비최적 액추에이터에 비해 더 우수한 상태 억제 및 낮은 제어 노력 수준을 달성하였다.