[논문 리뷰] Optimal Actuator Location of the Minimum Norm Controls for Heat Equation with General Controlled Domain

Bao‐Zhu Guo, Yashan Xu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 22.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다차원 열 방정식에 대해 시간에 따라 변하는 액추에이터 도메인(고정 르베그 측도를 가짐)을 고려할 때, 최적의 액추에이터 위치와 최소 노름 제어를 결정하기 위한 게임 이론적 프레임워크를 개발한다. 액추에이터 위치와 제어 입력 간의 나시 균형 문제로 공식화함으로써, 저자들은 최적의 고전적 해의 존재성과 유일성을 확립하고, 초기 조건에 의존하지 않는 상태 피드백 법칙을 합성한다.

ABSTRACT

In this paper, we study optimal actuator location of the minimum norm controls for a multi-dimensional heat equation with control defined in the space $L^p(0,T;L^2(Ω))$. The actuator domain $ω$ is quite general in the sense that it is required only to have a prescribed Lebesgue measure. A relaxation problem is formulated and is transformed into a two-person zero-sum game problem. By the game theory, we develop a necessary and sufficient condition and the existence of relaxed optimal actuator location for $p\in[2,+\infty]$, which is characterized by the Nash equilibrium of the associated game problem. An interesting case is for the case of $p=2$, for which it is shown that the classical optimal actuator location can be obtained from the relaxed optimal actuator location without additional condition. Finally for $p=2$, a sufficient and necessary condition for classical optimal actuator location is presented.

연구 동기 및 목표

• 다차원 열 방정식에서 제어 입력의 노름을 최소화하기 위해 시간에 따라 변하는 고정 측도를 가진 도메인 내에서 액추에이터의 최적 위치를 결정하는 것.
• 특히 일차원 사례를 초월한 다차원 포물형 PDE에 대한 최적 액추에이터 위치에 관한 결과의 부족을 해결하는 것.
• 최적의 액추에이터 위치와 제어를 상태 피드백으로 합성함으로써, 초기 조건에 의존하지 않는 피드백 제어 법칙을 개발하는 것.
• 게임 이론적 접근을 통해 개방 루프 시스템에 대한 최적 고전적 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 기존의 일차원 문제에 대한 결과를 일반화하고, 일반적인 제어 도메인을 가진 포물형 방정식에 대한 최소 노름 제어에 관한 열린 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 액추에이터 도메인 선택과 제어 설계를 두 명의 플레이어로 구성된 나시 균형 문제로 공식화하며, 한 명의 플레이어는 액추에이터 위치를 선택하고, 다른 한 명은 제어 입력을 선택한다.
• 각 시간 $ t \in (s,T) $ 에서 르베그 측도가 $ \alpha \cdot m(\Omega) $ 인 $ \Omega $ 의 가측 부분집합으로서의 허용 가능한 액추에이터 도메인 집합 $ \mathcal{W}_{s,T} $ 을 정의한다.
• 수반 시스템과 쌍대성을 사용하여 주어진 액추에이터 도메인에 대한 최소 노름 제어를 특성화하고, 리카티 유형의 방정식의 해를 통해 제어의 최적성 조건을 도출한다.
• 나시 균형 프레임워크를 사용하여 최적의 이완 해에 대한 필요 및 충분 조건을 확립하여, 액추에이터 위치와 제어가 동시에 최적임을 보장한다.
• 현재 상태에서 최적의 액추에이터 위치와 제어 입력을 각각 매핑하는 피드백 법칙 $ \mathcal{F} $ 와 $ \mathcal{G} $ 를 구성하여, 초기 조건에 의존하지 않음을 보장한다.
• 피드백 법칙이 요구하는 정규성 및 연속성 조건을 만족함으로써, 닫힌 루프 시스템에 대한 고전적 해의 존재성과 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다차원 열 방정식에서 제어 입력의 노름을 최소화하기 위해 시간에 따라 변하는 고정 측도를 가진 도메인 내에서 최적의 액추에이터 위치는 무엇인가?
• RQ2 최적의 제어와 액추에이터 위치를 동시에 설계하여, 그 결과로 얻어지는 피드백 법칙이 초기 조건에 의존하지 않도록 할 수 있는가?
• RQ3 일반적인 제어 도메인을 가진 포물형 PDE에 대해 나시 균형 프레임워크를 사용하여 액추에이터 위치와 제어 입력을 동시에 최적화할 수 있는가?
• RQ4 변동하는 액추에이터 도메인을 가진 최소 노름 제어의 맥락에서 최적 고전적 해의 존재성과 유일성을 보장하는 조건는 무엇인가?
• RQ5 제안된 방법은 기존의 일차원 시스템에 대한 결과를 어떻게 일반화하고, 포물형 방정식에 대한 최적 액추에이터 위치에 관한 열린 문제를 어떻게 해결하는가?

주요 결과

• 최적의 액추에이터 위치와 그에 상응하는 최소 노름 제어는 나시 균형 프레임워크를 통해 공동으로 결정되어 동시에 최적임을 보장한다.
• 제안된 프레임워크 하에서 개방 루프 시스템에 대한 최적 고전적 해의 존재성과 유일성이 확립된다.
• 최적의 피드백 제어와 액추에이터 위치는 초기 조건에 의존하지 않는 상태 피드백 법칙 $ \mathcal{F} $ 와 $ \mathcal{G} $ 에 합성된다.
• 해는 $ y^{{\cal F},{\cal G}}(T; s, \xi) = 0 $ 를 만족하는 닫힌 루프 시스템 (1.4)를 만족하여 최소 제어 에너지를 가진 영 제어 가능성을 보장한다.
• 피드백 법칙은 잘 정의되어 있고 시간에 대해 연속적이며, 모든 $ t \in [s,T) $ 에 대해 $ \mathcal{F}(t, y(\cdot,t)) = w^{s,\xi}(t) $ 와 $ \mathcal{G}(t, y(\cdot,t)) = u^{s,\xi}(t) $ 를 만족한다.
• 대립적 증명을 통해 제어와 액추에이터 위치의 최적성이 입증된다: 어떤 변동도 원래 해의 최적성을 위반하는 엄밀히 작은 제어 노름을 유도한다.