[논문 리뷰] Optimal Acyclic Hamiltonian Path Completion for Outerplanar Triangulated st-Digraphs (with Application to Upward Topological Book Embeddings)

Tamara Mchedlidze, Antonios Symvonis|ArXiv.org|2008. 07. 15.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 외계 평면 삼각분할 st-유량도형에서 간선 교차 수를 최소화하는 비순환 해밀턴 경로 완성 문제에 대해 선형 시간 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 각 간선당 최대 한 번의 교차만을 허용한다. 본 논문은 이 문제와 상향식 2페이지 위상 서류 정렬 간의 동치성을 확립함으로써, 최적의 뼈대 교차 수 최소화를 가능하게 하며, 이 클래스의 유량도형에 대해 처음으로 이러한 알고리즘을 제시한다.

ABSTRACT

Given an embedded planar acyclic digraph G, we define the problem of "acyclic hamiltonian path completion with crossing minimization (Acyclic-HPCCM)" to be the problem of determining an hamiltonian path completion set of edges such that, when these edges are embedded on G, they create the smallest possible number of edge crossings and turn G to a hamiltonian digraph. Our results include: --We provide a characterization under which a triangulated st-digraph G is hamiltonian. --For an outerplanar triangulated st-digraph G, we define the st-polygon decomposition of G and, based on its properties, we develop a linear-time algorithm that solves the Acyclic-HPCCM problem with at most one crossing per edge of G. --For the class of st-planar digraphs, we establish an equivalence between the Acyclic-HPCCM problem and the problem of determining an upward 2-page topological book embedding with minimum number of spine crossings. We infer (based on this equivalence) for the class of outerplanar triangulated st-digraphs an upward topological 2-page book embedding with minimum number of spine crossings and at most one spine crossing per edge. To the best of our knowledge, it is the first time that edge-crossing minimization is studied in conjunction with the acyclic hamiltonian completion problem and the first time that an optimal algorithm with respect to spine crossing minimization is presented for upward topological book embeddings.

연구 동기 및 목표

• 평면에 삽입된 비순환 유량도형에서 간선 교차 수를 최소화하는 비순환 해밀턴 경로 완성 문제를 다루는 것.
• 해밀턴 경로를 갖는 삼각분할 st-유량도형을 특성화하는 것.
• 외계 평면 삼각분할 st-유량도형에서 각 간선당 최대 한 번의 교차를 갖는 선형 시간 알고리즘을 개발하는 것.
• 비순환 HPCCM 문제와 최소 뼈대 교차 수를 갖는 상향식 2페이지 위상 서류 정렬 간의 동치성을 확립하는 것.
• 외계 평면 삼각분할 st-유량도형에 대해 뼈대 교차 수 최소화를 위한 첫 번째 최적 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• 외계 평면 삼각분할 st-유량도형의 st-다각형 분해를 도입하여 효율적 계산을 위한 구조적 특성을 활용하는 것.
• st-다각형 분해를 활용해 각 간선당 최대 한 번의 교차를 갖는 비순환 HP-완성 집합을 계산하는 선형 시간 알고리즘을 설계하는 것.
• 비순환 HPCCM 문제와 최소 뼈대 교차 수를 갖는 상향식 2페이지 위상 서류 정렬 문제 간의 동치성을 증명하는 것.
• HP-완성 그래프에서 뼈대에 정점을 배치하고 간선을 페이지를 가로질러 라우팅함으로써 서류 정렬을 구성하는 것. 뼈대 교차 수는 HP-완성 그래프의 간선 교차 수에 대응한다.
• 뼈대를 따라 위상 순서를 유지하고 간선 방향을 단조롭게 유지함으로써 서류 정렬의 상향성을 확보하는 것.
• 모순을 통해 결과 그래프의 비순환성을 검증하는 것: 어떤 순환도 하향 간선이 필요하므로, 서류 정렬의 상향성 조건을 위반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 삼각분할 st-유량도형이 해밀턴 경로를 갖는가?
• RQ2 외계 평면 삼각분할 st-유량도형에서 간선 교차 수 최소화를 위한 비순환 해밀턴 경로 완성 문제를 선형 시간 내에 최적으로 해결할 수 있는가?
• RQ3 비순환 HPCCM과 최소 뼈대 교차 수를 갖는 상향식 2페이지 위상 서류 정렬 간에 구조적 동치성이 존재하는가?
• RQ4 외계 평면 삼각분할 st-유량도형에 대해 상향식 2페이지 서류 정렬의 뼈대 교차 수를 최적으로 최소화할 수 있는가?
• RQ5 이러한 정렬에서 각 간선당 최소한의 교차 수는 얼마이며, 이를 상한으로 제한할 수 있는가?

주요 결과

• 삼각분할 st-유량도형이 해밀턴 경로를 갖는 조건을 특성화한 결과가 제시된다.
• 외계 평면 삼각분할 st-유량도형에 대해, 각 간선당 최대 한 번의 교차를 갖는 선형 시간 알고리즘이 비순환 HPCCM 문제를 해결한다.
• 비순환 HPCCM 문제와 최소 뼈대 교차 수를 갖는 상향식 2페이지 위상 서류 정렬 문제 간의 동치성이 확립된다.
• 알고리즘은 최소 뼈대 교차 수를 갖는 상향식 2페이지 위상 서류 정렬을 생성하며, 각 간선당 최대 한 번의 뼈대 교차 수를 갖는다.
• 제안된 알고리즘은 뼈대 교차 수 최소화 측면에서 최적이며, 저자들에 따르면 이 클래스의 유량도형에 대해 이는 첫 번째 최적 알고리즘이다.
• 이 방법은 교차 수 최적의 HP-완성 집합을 도출하며, 그림 18은 일부 완성 집합이 간선당 교차 수는 높지만 총 교차 수는 더 적게 만들어지는 것을 보여준다.