[논문 리뷰] Optimal Algorithms for Learning Quantum Phase States

Srinivasan Arunachalam, Sergey Bravyi외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 차수 d의 부울 다항식과 관련된 n-qubit 양자 위상 상태를 학습하기 위한 최적 알고리즘을 제시하며, 분리 측정에서는 샘플 복잡도가 Θ(nd)이고, 얽힌 측정에서는 Θ(nd−1)임을 보여준다. 제안된 알고리즘은 단일 큐비트 Pauli X 및 Z 기저 측정만을 사용하여 근접한 양자 우월성의 실험적 구현과 클리포드 계층의 대각 단위행렬 및 IQP 회로의 효율적 학습을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We analyze the complexity of learning $n$-qubit quantum phase states. A degree-$d$ phase state is defined as a superposition of all $2^n$ basis vectors $x$ with amplitudes proportional to $(-1)^{f(x)}$, where $f$ is a degree-$d$ Boolean polynomial over $n$ variables. We show that the sample complexity of learning an unknown degree-$d$ phase state is $Θ(n^d)$ if we allow separable measurements and $Θ(n^{d-1})$ if we allow entangled measurements. Our learning algorithm based on separable measurements has runtime $ extsf{poly}(n)$ (for constant $d$) and is well-suited for near-term demonstrations as it requires only single-qubit measurements in the Pauli $X$ and $Z$ bases. We show similar bounds on the sample complexity for learning generalized phase states with complex-valued amplitudes. We further consider learning phase states when $f$ has sparsity-$s$, degree-$d$ in its $\mathbb{F}_2$ representation (with sample complexity $O(2^d sn)$), $f$ has Fourier-degree-$t$ (with sample complexity $O(2^{2t})$), and learning quadratic phase states with $\varepsilon$-global depolarizing noise (with sample complexity $O(n^{1+\varepsilon})$). These learning algorithms give us a procedure to learn the diagonal unitaries of the Clifford hierarchy and IQP~circuits.

연구 동기 및 목표

• 차수 d의 부울 다항식으로 정의된 n-큐비트 위상 상태를 학습하기 위한 최적 샘플 복잡도를 규명하는 것.
• 근접한 양자 장치에 적합한 단일 큐비트 측정만을 사용하는 효율적 학습 프로토콜을 개발하는 것.
• 복소수 계수를 가진 일반화된 위상 상태와 노이즈 또는 희소한 경우로의 학습 프로토콜을 확장하는 것.
• 위상 상태 단층 측정을 통해 클리포드 계층의 대각 단위행렬과 IQP 회로를 학습할 수 있도록 하는 것.
• 희소성과 노이즈를 포함한 다양한 설정에서 샘플 복잡도에 대한 엄밀한 상한과 하한을 설정하는 것.

제안 방법

• 각각의 위상 상태 복사본에 대해 단일 측정을 수행하는 분리 측정의 사용 — 효율적이고 근접한 양자 장치에서 실행 가능한 프로토콜을 가능하게 한다.
• 차수 d의 다항식 f(x)의 F2 표현을 활용하여 GF(2) 위에서 푸리에 분석을 통해 위상 상태를 재구성한다.
• 다항식 분해 및 다항식 재구성 기법을 적용하여 측정 통계에서 f(x)의 단항식을 식별한다.
• 얽힌 측정의 경우, 복수의 복사본에 대한 동시 측정을 통해 고차원 상관관계를 추출하고 샘플 복잡도를 감소시킨다.
• 제어-상태 게이트와 대각 단위행렬 합성 기법을 사용하여 학습된 다항식에서 회로 표현을 재구성한다.
• 수정된 학습 프레임워크를 통해 q차 단위근과 노이즈 또는 희소한 다항식을 가진 일반화된 위상 상태를 다룰 수 있도록 알고리즘을 적응시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 측정을 사용할 때, 차수 d의 위상 상태를 학습하기 위한 최적 샘플 복잡도는 무엇인가요?
• RQ2 얽힌 측정이 허용될 경우 샘플 복잡도는 어떻게 변화하는가요?
• RQ3 학습 프로토콜은 복소수 계수를 가진 일반화된 위상 상태와 고차수 클리포드 계층의 단위행렬로 확장될 수 있는가요?
• RQ4 위상 다항식 f가 희소하거나 푸리에 차수가 낮을 경우 샘플 복잡도는 어떻게 되는가요?
• RQ5 전역 또는 국소적 소실 노이즈가 위상 상태 학습의 샘플 복잡도에 어떻게 영향을 미치는가요?

주요 결과

• 분리 측정을 사용한 차수 d의 이진 위상 상태 학습의 샘플 복잡도는 Θ(nd)이며, 상수 d에 대해 런타임은 poly(n)이다.
• 얽힌 측정을 사용할 경우 샘플 복잡도는 Θ(nd−1)로 감소하여 d ≥ 2일 때 최적 스케일링을 달성한다.
• q = 2d인 일반화된 위상 상태의 경우, 분리 측정을 사용해도 샘플 복잡도는 여전히 Θ(nd)이며, 런타임은 nd log q에 대해 지수적이다.
• f가 희소성 s와 차수 d를 가질 경우 샘플 복잡도는 O(2dsn)이며, 저희소 다항식에 대해 효율적인 학습이 가능하다.
• 전역 소실 노이즈 ε 하에서 이차 위상 상태의 경우 샘플 복잡도는 O(n1+ε)로 스케일링되며, 노이즈에 대해 강건함을 보인다.
• 결과적으로, 위상 상태 단층 측정을 통해 클리포드 계층의 d번째 수준에 속하는 대각 단위행렬과 IQP 회로를 효율적으로 학습할 수 있다.