[논문 리뷰] Optimal Algorithms for Right-Sizing Data Centers- Extended Version

Susanne Albers, Jens Quedenfeld|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 13.

Optimization and Search Problems참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 데이터 센터에서 활성 서버 수가 정수여야 하는 이산적 오른쪽 조정 문제에 대한 최초의 다항식 시간 알고리즘을 제안하며, 온라인 알고리즘에 대한 날카로운 경쟁 비율을 확립한다. 이는 이산적 레이지 컨테이너 프로비저닝(LCP) 알고리즘이 3-경쟁적이며 최적임을 증명하고, 온라인 알고리즘으로서 2-경쟁 비율을 달성하는 확률적 알고리즘을 도입하며, 이는 하한값과 정확히 일치한다. 이는 이산적 설정에서 열려 있던 질문들을 해결한다.

ABSTRACT

Electricity cost is a dominant and rapidly growing expense in data centers. Unfortunately, much of the consumed energy is wasted because servers are idle for extended periods of time. We study a capacity management problem that dynamically right-sizes a data center, matching the number of active servers with the varying demand for computing capacity. We resort to a data-center optimization problem introduced by Lin, Wierman, Andrew and Thereska that, over a time horizon, minimizes a combined objective function consisting of operating cost, modeled by a sequence of convex functions, and server switching cost. All prior work addresses a continuous setting in which the number of active servers, at any time, may take a fractional value. In this paper, we investigate for the first time the discrete data-center optimization problem where the number of active servers, at any time, must be integer valued. Thereby we seek truly feasible solutions. First, we show that the offline problem can be solved in polynomial time. Second, we study the online problem and extend the algorithm {\em Lazy Capacity Provisioning\/} (LCP) by Lin et al. to the discrete setting. We prove that LCP is 3-competitive. Moreover, we show that no deterministic online algorithm can achieve a competitive ratio smaller than~3. In addition, we develop a randomized online algorithm that is 2-competitive against an oblivious adversary. Moreover, we prove that 2 is a lower bound for the competitive ratio of randomized online algorithms, so our algorithm is optimal. Finally, we address the continuous setting and give a lower bound of~2 on the best competitiveness of online algorithms. This matches an upper bound by Bansal et al. We prove that all lower bounds still hold in a problem variant with more restricted operating cost functions, introduced by Lin et al.

연구 동기 및 목표

• 정수 서버 수를 요구함으로써 이산적 데이터센터 최적화의 격차를 메우며, 실현 가능한 해를 보장한다.
• 이산적 오른쪽 조정 문제에 대해 최적의 오프라인 및 온라인 알고리즘이 존재하는지 확인한다.
• 이산적 설정에서 온라인 알고리즘에 대한 날카로운 경쟁 비율을 확립하고, 알려진 하한값과 일치시킨다.
• 기존의 연속적 설정 결과를 이산적 경우로 확장하며, 이 새로운 맥락에서 기존 알고리즘의 최적성을 증명한다.
• 작업량에 따라 변하는 비용 함수를 갖는 제한된 모델을 분석하고, 하한값을 유도한다.

제안 방법

• 시간 단위와 서버 수를 표현하기 위해 층을 형성하는 그래프 이론적 모델을 제안하며, 가능성을 검토하기 위해 이진 탐색을 가능하게 한다.
• 각 시간 단계에서 정수 서버 수를 나타내는 상태를 갖는 층을 형성한 그래프 위에서 이진 탐색을 수행하는 다항식 시간 오프라인 알고리즘을 개발한다.
• LCP 알고리즘을 이산적 설정으로 확장하고, 3-경쟁 비율을 달성함을 증명한다. 이는 알려진 하한값과 일치한다.
• 연속적 해의 랜덤라이즈드 반올림을 기반으로 한 확률적 온라인 알고리즘을 설계하며, 무작위성이 없는 적대자에 대해 2-경쟁 비율을 달성한다.
• 오프라인 알고리즘에서 점진적으로 해를 정밀화하기 위해 문제 인스턴스 Ψₗ(Q) 및 Φₖ(Q)를 활용한 재귀적 스케일링 기법을 사용한다.
• 경쟁 비율을 증명하기 위해 이중 적합성 추론과 비용 분해를 적용하며, 볼록성과 스위칭 비용 구조를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 서버 수를 요구하는 이산적 데이터센터 오른쪽 조정 문제를 다항식 시간 내에 최적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 이산적 LCP 알고리즘이 경쟁 비율 측면에서 최적이며, 알려진 하한값 3과 일치하는가?
• RQ3 확률적 온라인 알고리즘이 이산적 설정에서 경쟁 비율 2를 달성할 수 있으며, 이것이 최적인가?
• RQ4 작업량에 따라 변하는 비용 함수를 갖는 더 제한된 모델에서, 결정론적 및 확률적 알고리즘에 대한 하한값 3과 2가 여전히 유효한가?
• RQ5 이산적 설정에서 온라인 알고리즘의 최고 경쟁 비율은 얼마이며, 이는 구축 가능한 알고리즘으로도 달성 가능한가?

주요 결과

• 층을 형성한 그래프와 이진 탐색을 활용한 오프라인 이산 오른쪽 조정 문제의 해법은 정수 서버 수를 갖는 최적의 해를 제공하며, 다항식 시간 내에 해결 가능하다.
• 이산적 LCP 알고리즘은 3-경쟁적이며 최적이다. 어떤 결정론적 온라인 알고리즘도 이보다 더 좋은 경쟁 비율을 달성할 수 없다.
• 확률적 온라인 알고리즘은 무작위성이 없는 적대자에 대해 2-경쟁 비율을 달성하며, 이는 최적이다. 확률적 알고리즘에 대한 하한값 2이기 때문이다.
• 작업량에 따라 변하는 비용 함수를 갖는 제한된 모델에서도 결정론적 온라인 알고리즘에 대한 하한값 3은 그대로 유지되며, Lin 등이 정의한 바와 같다.
• 확률적 온라인 알고리즘에 대한 하한값 2도 제한된 모델에서 유효하며, 제안된 확률적 알고리즘이 정확히 이 하한값을 충족한다.
• 논문은 연속적 설정에서도 2-경쟁 하한값이 존재함을 증명하며, Bansal 등이 제시한 상한값과 일치함을 보이고, 이 결과에 대해 독립적인 증명을 제공한다.