[논문 리뷰] Optimal bilinear control of nonlinear stochastic Schrödinger equations driven by linear multiplicative noise

Viorel Barbu, Michael Röckner외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 다중성 노이즈에 의해 구동되는 비선형 확률 슈뢰딩거 방정식에 대해 개방 루프 최적 제어의 존재성을 확립하고, 스코로호드의 표현 정리, 에켈란드의 변분 원리, 그리고 선형화된 쌍대 후방 확률 미분 방정식에 대한 새로운 존재성 결과를 사용하여 일阶 최적성 조건을 유도한다. 이 방법은 확률적 및 결정론적 사례 모두에 적용되며, 불확실성 하에서 이중선형 양자 제어를 위한 엄밀한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Here is investigated the bilinear optimal control problem of quantum mechanical systems with final observation governed by a stochastic nonlinear Schrödinger equation perturbed by a linear multiplicative Wiener process. The existence of an open loop optimal control and first order Lagrange optimality conditions are derived, via Skorohod's representation theorem, Ekeland's variational principle and the existence for the linearized dual backward stochastic equation. Moreover, our approach in particular applies to the deterministic case.

연구 동기 및 목표

• 선형 다중성 노이즈를 갖는 비선형 확률 슈뢰딩거 방정식에 대한 최적 제어 문제에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 이러한 방정식에 의해 지배되는 양자 시스템에 대한 개방 루프 최적 제어의 존재성을 확립하기 위해.
• 확률적 교란이 존재하는 상황에서 일阶 라그랑주 최적성 조건을 도출하기 위해.
• 결정론적 사례를 특수한 경우로 확장하기 위해.
• 연속 측정과 노이즈 하에서 양자 시스템의 이중선형 제어를 위한 엄밀한 분석적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• 제어 공간에서의 약한 수렴을 다루기 위해 스코로호드의 표현 정리를 사용한다.
• 필요 최적성 조건을 도출하기 위해 에켈란드의 변분 원리를 적용한다.
• 선형화된 쌍대 후방 확률 미분 방정식의 해 존재성을 날카운 확률 추정을 통해 확립한다.
• 시간에 의존하는 계수를 갖는 선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 스트리카르츠 유형 추정을 사용한다.
• 식 $ y = e^{-W}X $ 를 통한 스케일링을 사용하여 방정식을 결정론적 스트리카르츠 추정에 적합한 형태로 변환한다.
• 제어 수열의 $ L^1(0,T;\mathbb{R}^m) $ 에서의 강도를 총 변동량과 연속성 조건을 사용하여 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 다중성 노이즈와 이중선형 제어 구조를 갖는 비선형 확률 슈뢰딩거 방정식에 대해 최적 제어가 존재하는가?
• RQ2 이러한 제어 문제에 대한 일阶 필요 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ3 계수에 대한 일반적인 가정 하에 쌍대 후방 확률 미분 방정식의 해 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 확률적 교란은 확률의 보존성과 시스템의 잘 정의성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 프레임워크는 노이즈가 사라질 경우의 극한 경우로 결정론적 사례로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 선형 다중성 노이즈를 갖는 비선형 확률 슈뢰딩거 방정식의 이중선형 제어 문제에 대해 개방 루프 최적 제어가 존재한다.
• 에켈란드의 변분 원리와 쌍대 후방 방정식을 사용하여 일阶 라그랑주 최적성 조건이 도출된다.
• 선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 날카운 확률 추정을 통해 선형화된 쌍대 후방 확률 미분 방정식의 해 존재성이 확립된다.
• 제어-상태 사상이 적절한 위상에서 연속임이 입증되어 최적 제어의 존재성을 뒷받침한다.
• 이 프레임워크는 결정론적 사례에 적용되며, 노이즈가 없어질 경우 기존 결과를 특수한 경우로 복원한다.
• 적분 가능성과 정규성 조건 하에서 $ L^1(0,T;\mathbb{R}^m) $ 에서 제어 법칙의 강도가 증명되어 약한 수렴을 보장한다.