[논문 리뷰] Optimal consumption and investment under transaction costs

David Hobson, Alex S. L. Tse외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 단일 위험 자산 모델에서 비례 거래비용이 존재하는 멀턴 최적 소비 및 투자 문제에 대한 완전한 해를 제공한다. 저자들은 새로운 순서 감소 기법을 통해 하미льтوني안-자코비-벨만 방정식을 일阶 자유경계 문제로 감소시켜, 최적 전략—무거래 영역으로 특징지어지는 것—이 모델의 매개변수로 구성된 이차형식에만 의존하며, 해의 구조는 이차형식의 값과 주요 점에서의 기울기에 의해 결정됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this article we consider the Merton problem in a market with a single risky asset and transaction costs. We give a complete solution of the problem up to the solution of a free-boundary problem for a first-order differential equation, and find that the form of the solution (whether the problem is well-posed, whether the problem is well-posed only for large transaction costs, whether the no-transaction wedge lies in the first, second or fourth quadrants) depends only on a quadratic whose co-efficients are functions of the parameters of the problem, and then only through the value and slope of this quadratic at zero, one and the turning point. We find that for some parameter values and for large transaction costs the location of the boundary at which sales of the risky asset occur is independent of the transaction cost on purchases. We give both a mathematical and financial reason for this phenomena.

연구 동기 및 목표

• 단일 위험 자산 설정에서 비례 거래비용이 존재하는 멀턴 문제에 대한 완전한 해석적 해를 제공하는 것.
• 새로운 순서 감소 기법을 사용하여 이阶 HJB 방정식을 일阶 자유경계 문제로 재구성하는 것.
• 모델 매개변수에서 유도된 단일 이차함수를 통해 최적의 무거래 영역(매수 및 매도 경계)을 특징짓는 것.
• 무거래 경계에 대한 비교정적 분석을 수립하고, 이들이 영점, 1점, 그리고 전환점에서 이차형식의 행동에 따라 의존함을 증명하는 것.
• 큰 거래비용에 대해 매도 경계가 매수 거래비용에 영향을 받지 않는다는 것을 수학적 및 금융적 설명을 통해 보여주는 것.

제안 방법

• 해를 독립변수로 삼아 이阶 HJB 방정식을 일阶 ODE로 변환함으로써 순서 감소를 가능하게 하는 것.
• ODE를 나타내기 위해 비선형 연산자 L(x, f, f)를 정의하며, f(x)는 변환된 좌표계에서의 가치함수를 나타낸다.
• 반복 근사(fn)와 단조 수렴을 통해 해 f의 존재성과 연속성을 확보하며, 매개변수에 의존하는 계수로부터 경계를 도출한다.
• 계수 함수 a(x, f)가 f에 대해 리프시츠 성질을 가지므로, 비교 원리를 이용하여 해의 유일성을 증명하는 것.
• 점근적 분석을 통해 영점 근처에서 해의 행동을 규명하여, lim_{x↓0} x^{-2}η(x) = b(0)/A(0)임을 보이며, η′(0) = 0임을 나타낸다.
• 상태공간 분석과 적분 조건을 적용하여 올바른 자유경계 해를 식별하고, 이를 자산 가치 공간에서의 무거래 영역과 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적의 무거래 영역의 구조(즉, 그 영역이 자산 가치 공간의 제1, 제2, 또는 제4사분면에 위치하는지)는 모델 매개변수에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 문제가 모든 거래비용 수준에서 잘 정의되는가, 아니면 큰 거래비용에 대해서만 잘 정의되는가에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ3 큰 거래비용에서 매도 경계가 매수 거래비용에 영향을 받지 않는 이유는 무엇이며, 그 뒤에 있는 수학적 및 금융적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ4 자유경계 문제의 해는 단일 이차함수로 특징지어질 수 있는가? 그리고 그 성질(핵심 점에서의 값과 기울기)이 해의 형태를 어떻게 결정하는가?
• RQ5 제안된 원천 접근법은 이전의 이중 또는 그림자 가격 방법에 비해 분석을 어떻게 단순화시키며, 특히 해석 가능성과 비교정적 분석 측면에서 어떤 이점이 있는가?

주요 결과

• 최적 전략은 모델 매개변수에서 유도된 단일 이차함수에 의해 완전히 특징지어지며, 해의 정성적 행동은 이차형식의 영점, 1점, 그리고 전환점에서의 값과 기울기에 의해 유일하게 결정된다.
• 큰 거래비용에 대해 매도 경계는 매수 거래비용에 영향을 받지 않으며, 이는 ODE의 구조적 성질과 최소한의 거래 빈도가 요구되는 금융적 논리에 의해 설명된다.
• 자유경계 문제의 해는 유일하고 연속적으로 미분 가능하며, lim_{x↓0} x^{-2}η(x) = b(0)/A(0)임을 의미하며, 이는 η′(0) = 0임을 암시한다.
• 이 방법은 복잡한 원천 HJB 문제를 다룰 수 있는 일阶 ODE로 감소시켜, 이전의 타원 또는 쌍곡선을 포함하는 상태도 기반 접근법에 비해 더 단순한 대안을 제공한다.
• 저자들은 무거래 경계에 대한 비교정적 분석을 수립하여, 위험 회피 성향, 수익률 증가율, 변동성의 변화에 따라 경계가 어떻게 이동하는지 보여준다.
• 분석을 통해 해가 잘 정의되려면 이차형식의 영점, 1점, 전환점에서의 기울기와 값이 특정 조건을 만족해야 하며, 이러한 조건이 자산 가치 공간에서 영역이 제1, 제2, 또는 제4사분면에 위치하는지를 결정함을 확인한다.