[논문 리뷰] Optimal control and numerical software: an overview

Helena Sofia Rodrigues, M. Teresa T. Monteiro외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 28.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 24인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 최적 제어(OC) 문제를 해결하기 위한 수치 소프트웨어 도구에 대한 종합적인 개요를 제공하며, 루벨라 역학 모델을 통해 직접법과 간접법을 비교한다. 다섯 가지 소프트웨어 패키지—MATLAB의 ode45, OC-ODE, DOTcvp, IPOPT, SNOPT—를 평가하여 직접 전사와 비선형 프로그래밍 기법을 사용한 복잡한 OC 문제 해결 시 성능, 정확도, 강건성을 입증한다.

ABSTRACT

Optimal Control (OC) is the process of determining control and state trajectories for a dynamic system, over a period of time, in order to optimize a given performance index. With the increasing of variables and complexity, OC problems can no longer be solved analytically and, consequently, numerical methods are required. For this purpose, direct and indirect methods are used. Direct methods consist in the discretization of the OC problem, reducing it to a nonlinear constrained optimization problem. Indirect methods are based on the Pontryagin Maximum Principle, which in turn reduces to a boundary value problem. In order to have a more reliable solution, one can solve the same problem through different approaches. Here, as an illustrative example, an epidemiological application related to the rubella disease is solved using several software packages, such as the routine ode45 of Matlab, OC-ODE, DOTcvp toolbox, IPOPT and Snopt, showing the state of the art of numerical software for OC.

연구 동기 및 목표

• 실제 복잡한 응용 분야에서 최적 제어 문제를 해결하는 최신 수치 소프트웨어의 성능을 평가하는 것.
• 실제 역학 모델 사례 연구를 통해 직접법과 간접법의 성능, 정확도, 강건성의 비교.
• 기본적인 루벨라 전파 모델을 기반으로 현대 비선형 프로그래밍 솔버가 최적 제어 문제를 얼마나 효과적으로 해결하는지 보여주는 것.
• 문제 구조, 계산 비용, 수렴 행동에 기반해 연구자들이 적절한 소프트웨어 도구를 선택하는 데 실용적인 안내를 제공하는 것.

제안 방법

• 직접법을 적용하여 오일러 방법과 균일한 시간 분할을 사용해 최적 제어 문제를 비선형 프로그래밍(NLP) 문제로 이산화한다.
• 루벨라 전파 모델은 상태 변수로 감수성, 감염자, 회복자, 접종자 인원을 포함한 볼차 형태로 수립된다.
• 성능 지표는 감염자 수 최소화를 통한 질병 통제와 제어 노력에 대한 페널티를 통한 간섭 비용 간의 트레이드오프를 포함한다.
• 다섯 가지 소프트웨어 패키지—MATLAB의 ode45, OC-ODE, DOTcvp, IPOPT, SNOPT—를 사용해 이산화된 문제를 해결하며, NEOS 서버에서 AMPL을 모델링 언어로 사용한다.
• IPOPT와 SNOPT는 각각 내부점법과 순차적 정수계획법(SQP) 방법을 사용하며, 효율성을 높이기 위해 희박한 도함수 구조를 활용한다.
• 해결 과정에서는 자동 미분과 희박성 활용을 통해 수렴 속도와 수치적 안정성을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실제 복잡한 문제를 다루는 데 있어 다양한 수치 소프트웨어 패키지의 최적 제어 문제 해결 능력은 어떻게 비교될 수 있는가?
• RQ2 비선형 역학 모델에 적용했을 때 직접법과 간접법의 상대적 정확도와 강건성은 어떠한가?
• RQ3 내부점법과 SQP 기반 솔버의 최적 제어 문제 해결 시 수렴 속도와 해의 품질 측면에서의 성능은 어떠한가?
• RQ4 표준 비선형 프로그래밍 도구가 생물학적 역학을 수반한 복잡하고 제약 조건이 많은 최적 제어 문제를 얼마나 잘 처리할 수 있는가?
• RQ5 희박성 활용과 도함수 정보는 최적 제어 소프트웨어의 효율성을 향상시키는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• IPOPT와 SNOPT와 같은 현대 NLP 솔버와 함께 사용할 경우, 직접법은 나쁜 초기 추정값이 있더라도 매우 정확하고 강건한 해를 제공한다.
• IPOPT와 SNOPT는 자코비안과 헤시안 행렬의 희박성 구조를 효과적으로 활용함으로써 뛰어난 수렴 행동과 계산 효율성을 보였다.
• AMPL 기반 모델링 환경에서 자동 미분를 사용함으로써 도함수 계산의 신뢰성과 속도가 크게 향상되었다.
• IPOPT와 SNOPT를 사용한 해는 목적 함수 값이 최소화되어 있어 질병 통제와 간섭 비용 간의 효과적인 트레이드오프를 보여주었다.
• MATLAB의 ode45는 최적 제어 문제 해결에 있어 최적화 기능이 없어 덜 효과적이었으며, 전용 NLP 솔버의 필요성을 강조하였다.
• 이 연구는 제약 조건과 비선형 역학이 포함된 복잡한 고차원 최적 제어 문제에 대해 직접법이 더 실용적임을 확인하였다.