[논문 리뷰] Optimal Control for Nonlinear Hybrid Systems via Convex Relaxations

Pengcheng Zhao, Shankar Mohan외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 14.

Robotic Locomotion and Control참고 문헌 33인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 상태에 따라 전환하는 비선형 하이브리드 시스템의 전역 최적 제어 문제를 해결하기 위해 볼록 리 릴랙세이션 기반 방법을 제안한다. 문제를 측도 공간으로 확장하고, 연속적인 정수형 프로그래밍 문제를 풀어 진정한 전역 최적해로 단조롭게 수렴시키는 접근 방식으로, 기존의 기울기 기반 방법보다 벤치마크 문제, 특히 활성 SLIP 모델에서 수렴성과 전역 최적성 측면에서 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

This paper considers the optimal control for hybrid systems whose trajectories transition between distinct subsystems when state-dependent constraints are satisfied. Though this class of systems is useful while modeling a variety of physical systems undergoing contact, the construction of a numerical method for their optimal control has proven challenging due to the combinatorial nature of the state-dependent switching and the potential discontinuities that arise during switches. This paper constructs a convex relaxation-based approach to solve this optimal control problem. Our approach begins by formulating the problem in the space of relaxed controls, which gives rise to a linear program whose solution is proven to compute the globally optimal controller. This conceptual program is solved by constructing a sequence of semidefinite programs whose solutions are proven to converge from below to the true solution of the original optimal control problem. Finally, a method to synthesize the optimal controller is developed. Using an array of examples, the performance of the proposed method is validated on problems with known solutions and also compared to a commercial solver.

연구 동기 및 목표

• 상태에 따라 전환하는 비선형 하이브리드 시스템과 비연속성 존재 시 전역 최적 제어 문제를 해결하기 위해.
• 고정된 전이 순서나 국소 최적화에 의존하는 기존 방법의 한계를 극복하기 위해.
• 사전에 전환 순서를 알지 못해도 전역 수렴하는 수치적 방법을 개발하기 위해.
• 볼록 리 릴랙세이션을 활용한 계산적으로 실현 가능한 하이브리드 최적 제어 문제 해결 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 측도를 이용한 리 릴랙세이션 제어 공간에서 하이브리드 최적 제어 문제를 수식화하여 무한차원 선형 프로그래밍 문제로 변환한다.
• 진정한 최적 비용으로 단조롭게 아래에서 수렴하는 유한차원 정수형 프로그래밍 리 릴랙세이션 시퀀스 (P_k) 를 구축한다.
• 모멘트 기반 표현과 제곱합 기법을 사용하여 측도 기반 선형 프로그래밍 문제를 근사한다.
• Lasserre 계층을 적용하여 최적 비용의 점차 더 좁은 하한을 제공한다.
• 리 릴랙세이션 해에서부터 타당한 제어 입력을 복원하기 위한 제어기 설계 방법을 개발한다.
• 기존 최적해가 알려진 활성 SLIP 모델에 대해 접근 방식을 검증하고 GPOPS-II와의 비교를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태에 따라 전환하는 비선형 하이브리드 시스템에 대해 볼록 리 릴랙세이션 접근 방식이 전역 최적성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 리 릴랙세이션 정도가 증가함에 따라 정수형 프로그래밍 계층의 수렴 특성은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 GPOPS-II와 같은 기울기 기반 솔버보다 전역 최적성과 해의 품질 측면에서 성능이 뛰어나게 되는가?
• RQ4 활성 SLIP 모델과 같이 전환 순서가 알려지지 않거나 복잡한 문제에 대해 이 방법은 얼마나 잘 작동하는가?
• RQ5 리 릴랙세이션 정도가 증가함에 따라 계산 비용과 해의 정확도 사이의 상충 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 수직 이동을 최대화하는 활성 SLIP 모델에서, 2k=8 리 릴랙세이션을 사용한 방법은 비용 -0.5754를 달성하였으며, 진정한 전역 최적해로 수렴하였다.
• 2k=8일 때 방법은 약 12,290초가 소요되었고, GPOPS-II는 1,453초가 소요되었지만 더 높은(나쁜) 비용 -0.5735를 반환하였다.
• v=0.1인 추적 문제에서, 2k=8일 때 방법은 비용 0.2165를 달성하였으며, GPOPS-II의 0.2657보다 유의미하게 우수하였다.
• 리 릴랙세이션 정도가 증가함에 따라 해의 품질이 단조롭게 향상되어 진정한 최적 비용으로 아래쪽에서 수렴하는 것으로 나타났다.
• 시뮬레이션 결과, 리 릴랙세이션 해에서 유도된 제어기가 타당하고 거의 최적의 궤적을 달성하는 것으로 확인되었다.
• 이 방법은 사전에 전환 순서를 알지 못해도 복잡한 전환 순서(예: 추적 작업에서 8회의 전환)를 성공적으로 식별하였다.