[논문 리뷰] Optimal control of a nonconvex perturbed sweeping process

Tan H. Cao, Boris S. Mordukhovich|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 07.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이산 근사화와 일반화 미분을 이용하여 비볼록 편항을 포함한 스위핑 과정의 최적 제어에 대한 必要 최적성 조건을 개발한다. 이는 이산 해의 강수렴성을 확립하고, 비볼록, 프록스-정규성 이동 집합과 제어를 포함한 편항 및 집합 역학에서 문제 데이터에만 의존하는 완전한 최적성 조건을 도출한다. 이는 평면상의 보행자 운동을 현실적인 기하 제약 조건으로 모델링하는 데 핵심적이다.

ABSTRACT

The paper concerns optimal control of discontinuous differential inclusions of the normal cone type governed by a generalized version of the Moreau sweeping process with control functions acting in both nonconvex moving sets and additive perturbations. This is a new class of optimal control problems in comparison with previously considered counterparts where the controlled sweeping sets are described by convex polyhedra. Besides a theoretical interest, a major motivation for our study of such challenging optimal control problems with intrinsic state constraints comes from the application to the crowd motion model in a practically adequate planar setting with nonconvex but prox-regular sweeping sets. Based on a constructive discrete approximation approach and advanced tools of first-order and second-order variational analysis and generalized differentiation, we establish the strong convergence of discrete optimal solutions and derive a complete set of necessary optimality conditions for discrete-time and continuous-time sweeping control systems that are expressed entirely via the problem data.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 스위핑 과정에 의해 지배되는 비연속 미분 포함 문제의 새로운 클래스의 최적 제어 문제를 수립하기 위해.
• 기존 제어 이론을 이동 집합과 편항 둘 다 제어 가능한, 특히 비볼록(프록스-정규성) 설정에서 확장하기 위해.
• 비다각형, 비볼록 스위핑 과정에서의 최적성 조건 부족 문제를 해결하기 위해, 이는 현실적인 보행자 운동 모델링에 필수적이다.
• 비연속 역학과 상태 제약 조건을 포함한 문제에 대해 이산 근사화와 변분 분석을 이용한 강력한 분석 프레임워크를 개발하기 위해.
• 최적성 조건을 문제 데이터에 완전히 표현함으로써 실세계 시스템(예: 보행자 역학)에 실용적으로 적용할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 스위핑 과정의 비연속성에 대응하고 이산 해가 연속 해로의 강수렴성을 보장하기 위해 구조적 이산 근사화 접근법을 사용한다.
• 1차 및 2차 변분 분석과 일반화 미분의 고급 도구를 적용하여 문제의 비미분성 및 비볼록성의 구조를 분석한다.
• 프록스-정규성 개념을 활용하여 여전히 잘 정의된 분석이 가능한 비볼록 이동 집합을 모델링하며, 볼록 다면체를 초월한다.
• 이산 근사화 계획을 통해 필요 최적성 조건을 유도하고, 이들이 문제 데이터(예: 제어, 역학, 제약 조건)에만 의존하도록 보장한다.
• 적절한 가정 하에 이산 최적 제어 문제의 잘 정의성과 연속 문제로의 강수렴성을 확립한다.
• 이산 설정에서 라그랑주 승수법과 쌍대 변수를 활용하여 전체 최적성 조건을 유도하고, 이후 연속 문제로 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록, 프록스-정규성 이동 집합과 제어 입력이 집합 역학과 추가 편항 양쪽 모두에 존재하는 스위핑 과정에 대해 최적 제어를 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 비볼록 설정에서 연속 스위핑 과정으로의 강수렴성을 보장하는 적절한 이산 근사화 계획은 무엇인가?
• RQ3 이러한 비표준적, 비연속적이고 상태 제약 조건이 있는 최적 제어 문제에 대해 필요 최적성 조건을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 프록스-정규성은 비볼록 스위핑 집합의 최적 제어 분석 가능성을 어떻게 보장하는가?
• RQ5 유도된 최적성 조건는 추가로 알려지지 않은 변수나 변환 없이 문제 데이터에 완전히 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 이산 최적 해가 연속 최적 해로 강수렴함을 보여, 이 클래스 문제에 대해 이산 근사화 접근법의 타당성을 입증한다.
• 문제 데이터(제어, 역학, 제약 조건)에만 의존하는 완전한 필요 최적성 조건 집합이 도출되었으며, 알려지지 않은 쌍대 변수에 의존하지 않는다.
• 두 입자 보행자 운동 예제에서, 입자 간 거리가 양수일 때(η₁₂ > 0) 최적 비용은 약 45.9이며, η₁₂ = 0일 때는 66.49로, 동적 조율 케이스가 더 우수함을 보여준다.
• 최적 제어 전략은 [0,6] 동안 두 입자 모두 일정한 속도를 유지하며, η₁₂ > 0일 때 최적성 조건에서 유도된 관계 a₁ = 2a₂를 만족한다.
• 최적 궤적은 명시적으로 계산되었으며, 상태 제약 조건과 제어 범위 r₁ ≤ ||u(t)|| ≤ r₂를 만족함을 확인하여 해의 타당성을 입증한다.
• 이 방법은 내재된 상태 제약 조건과 비연속 역학을 효과적으로 처리하며, 보행자 운동 모델링과 같은 비볼록 스위핑 과정에 대한 강력한 프레임워크를 제공한다.