[논문 리뷰] Optimal control of a parabolic fractional PDE: analysis and discretization

Christian Glusa, Enrique Otárola|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 24.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 35인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 적분 분수 라플라시안을 갖는 포물형 분수 PDE에 의해 지배되는 선형-제곱 최적 제어 문제를 해결하기 위한 완전 이산 수치 체계를 제시한다. 시간에 대해 음이 아닌 후진 오일러 이산화와 공간에 대해 조각별 선형 유한요소, 제어에 대해 조각별 상수 함수를 조합하여, $L^2(0,T;L^2(\theta))$에 대한 새로운 $a$ priori 오차 추정과 수치 실험에서 최적 수렴 속도를 입증한다.

ABSTRACT

We consider the integral definition of the fractional Laplacian and analyze a linear-quadratic optimal control problem for the so-called fractional heat equation; control constraints are also considered. We derive existence and uniqueness results, first order optimality conditions, and regularity estimates for the optimal variables. To discretize the state equation equation we propose a fully discrete scheme that relies on an implicit finite difference discretization in time combined with a piecewise linear finite element discretization in space. We derive stability results and a novel $L^2(0,T;L^2(Ω))$ a priori error estimate. On the basis of the aforementioned solution technique, we propose a fully discrete scheme for our optimal control problem that discretizes the control variable with piecewise constant functions and derive a priori error estimates for it. We illustrate the theory with one- and two-dimensional numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 포화 분수 최적 제어 문제에 대해 상태 해의 존재성, 유일성 및 정규성 분석을 수행한다.
• 상태 방정식에 대해 시간 이산화와 유한요소 공간 근사의 조합을 통한 완전 이산 수치 체계를 개발한다.
• 상태 및 제어 변수에 대해 $L^2(0,T;L^2(\theta))$ 범위에서 사전 오차 추정을 유도한다.
• 조각별 상수 제어 근사와 함께 완전 이산 체계를 제안하고, 해당 체계에 대한 사전 오차 추정을 수립한다.
• 일차원 및 이차원 수치 실험과 수렴 속도 분석을 통해 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• 상태 방정식은 시간에 대해 음이 아닌 후진 오일러 체계와 공간에 대해 일관된 조각별 선형 유한요소를 사용하여 이산화된다.
• 제어 변수는 공간 및 시간에 대해 조각별 상수 함수를 사용하여 근사된다.
• 상태 방정식에 대한 변분 형식이 유도되어 수치적으로 해결할 수 있는 사다리꼴 시스템을 이룬다.
• 분석은 $\mathbb{R}^n$ 위에서의 특이 적분을 통한 정의된 분수 라플라시안에 기반하며, 도메인 $\Omega$ 외부에서는 영으로 연장된다.
• 에너지 추론과 비국소 소볼레프 공간에서의 보간 이론을 활용하여 안정성과 사전 오차 추정을 도출한다.
• 수렴 속도 평가를 위해 등간격 및 계단형 메쉬 위에서 수치 실험을 수행하여 $L^2(Q)$ 및 $L^2((0,T),H^s(\Omega))$ 노름에서의 수렴 속도를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적분 분수 라플라시안을 갖는 포물형 분수 PDE에 대해 최적 제어의 존재성 및 유일성은 어떠한가?
• RQ2 자료에 대한 최소한의 미분 가능성 조건 하에서 최적 상태 및 제어 변수에 대해 어떤 정규성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 완전 이산 체계의 상태 방정식에 대해 $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ 노름에서의 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ4 $s \in (1/2,1)$ 인 경우에 계단형 메쉬는 수치 체계의 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 조각별 상수 제어 근사와 함께 완전 이산 최적 제어 문제에 대한 사전 오차 추정은 어떠한가?

주요 결과

• 완전 이산 체계를 상태 방정식에 적용한 결과, $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ 노름에서 새로운 사전 오차 추정이 도출되었다.
• 등간격 메쉬에서 상태 변수에 대해 $L^2(Q)$ 노름에서 최적 수렴 속도 $\mathcal{O}(\tau + h)$ 가 관측되었다.
• 특히 $s=0.75$ 인 경우, grading 파라미터 $\kappa=2$ 를 갖는 계단형 메쉬에서 향상된 수렴 속도를 달성하여 특이 해의 보다 우수한 근사가 가능함을 시사한다.
• 제어 변수의 오차는 $L^2(Q)$ 노름에서 $\mathcal{O}(\tau + h)$ 의 속도로 수렴하며, 이는 이론적 추정과 일치한다.
• 일차원 및 이차원 문제에 대한 수치 실험 결과, 다양한 $s$ 값과 메쉬 유형에서 이론적 수렴 속도가 확인되었다.
• 제어 제약 조건 $\mathsf{a}(x,t) \leq \mathsf{z}(x,t) \leq \mathsf{b}(x,t)$ 를 갖는 문제로 분석을 확장하였으며, 체계는 여전히 안정적이고 수렴성을 유지한다.