[논문 리뷰] Optimal Control of Closed Quantum Systems via B-Splines with Carrier Waves

N. Anders Petersson, Fortino Garcia|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 27.

Numerical methods for differential equations인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 고체 상태 양자 시스템의 최적 제어를 위한 B-spline 파arameterization을 제안하며, 이는 초전도 큐디트에서 효율적인 게이트 합성 가능하게 한다. 제어 펄스를 공진 주파수를 가진 실수 파동으로 조절한 B-spline에 의해 인코딩함으로써, 제어 변수의 수를 크게 줄이면서도 정확도를 유지하며, QuTiP 및 Grape-TensorFlow보다 뛰어난 성능을 보이는 고정밀도 양자 게이트를 실현한다.

ABSTRACT

We consider the optimal control problem of determining electromagnetic pulses for implementing logical gates in a closed quantum system, where the Hamiltonian models the dynamics of coupled superconducting qudits. The quantum state is governed by Schrödinger's equation, which we formulate in terms of the real and imaginary parts of the state vector and solve by the Störmer-Verlet scheme, which is a symplectic partitioned Runge-Kutta method. A novel parameterization of the control functions based on B-splines with carrier waves is introduced. The carrier waves are used to trigger the resonant frequencies in the system Hamiltonian, and the B-spline functions specify their amplitude and phase. This approach allows the number of control parameters to be independent of, and significantly smaller than, the number of time steps for integrating Schrödinger's equation. We present numerical examples of how the proposed technique can be combined with an interior point L-BFGS algorithm for realizing quantum gates, and generalize our approach to calculate risk-neutral controls that are resilient to noise in the Hamiltonian model. The proposed method is also shown to compare favorably with QuTiP/pulse\_optim and Grape-Tensorflow.

연구 동기 및 목표

• 많은 시간 단계를 포함한 고차원 최적 제어 문제를 해결한다.
• 최적화 변수의 수를 줄이되 정확도를 손상시키지 않는 제어 필드의 파arameterization을 개발한다.
• B-spline 에너지의 실수 파동을 통합하여 초전도 큐디트에서 목표 전이의 공진 조절을 가능하게 한다.
• 위험 중립적 제어 설계를 통해 해밀토니안 노이즈에 대한 강건성을 향상시킨다.
• 기존 도구인 QuTiP 및 Grape-TensorFlow와 비교하여, 양자 게이트 합성에서 뛰어난 성능을 보임을 입증한다.

제안 방법

• 제어 필드를 실수 파동으로 조절한 B-spline에 의해 파arameter화하여 진폭, 위상 및 공진 주파수 성분을 인코딩한다.
• 실수 및 허수 상태 벡터 성분으로 표현된 단순화된 슈뢰딩거 방정식을 모델링하고, Störmer-Verlet 비틀림 보존 스킴을 사용해 해를 구한다.
• 슈뢰딩거 방정식의 행렬 형태를 사용하여 해의 운영자 $ U(t;m{ heta}) $ 를 진화시키며, $ U(0) = U_0 $ 이고, 필수 부분공간에서의 진화를 추적한다.
• 최종 해의 운영자와 목표 게이트 $ V_{tg} $ 사이의 프로베니우스 내적을 기반으로 목표 게이트 비일관성 $ ilde{f J}_1 $ 을 비용 함수로 정의한다.
• 감시된 부분공간에서의 인구를 억제하고, 힐베르트 공간의 단절로 인한 잘못된 비선형성 문제를 방지하기 위해 중간 시간 단계 목표 $ ilde{f J}_2 $ 를 도입한다.
• ODE 제약 최적화 문제를 해결하기 위해 B-spline 실수 파동 파arameterization과 내부점 L-BFGS 최적화기를 결합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 B-spline 실수 파동 파arameterization은 초전도 큐디트에서 고정밀도 양자 게이트를 실현하면서도 시간 단계 수보다 훨씬 적은 제어 변수를 사용할 수 있는가?
• RQ2 실수 파동의 통합은 이산 에너지 수준을 가진 양자 시스템에서 공진 조절과 제어 효율성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 중간 시간 단계 목표 함수는 힐베르트 공간의 단절로 인한 오차를 어느 정도 완화하는가?
• RQ4 기존 도구인 QuTiP 및 Grape-TensorFlow와 비교하여 제안된 방법은 성능과 수렴 속도에서 어떤가?
• RQ5 이 프레임워크에서 유도된 위험 중립적 제어 전략은 해밀토니안 모델 불확실성에 대해 강건성을 향상시키는가?

주요 결과

• B-spline 실수 파동 파arameterization은 시간 적분에 사용된 시간 단계 수 이하로 제어 변수의 수를 크게 줄였다.
• 수치 예제에서 목표 게이트 비일관성 $ ilde{f J}_1 $ 이 $ 10^{-6} $ 이하로 감소하여 고정밀도 양자 게이트 합성을 실현하였다.
• 중간 시간 단계 목표 $ ilde{f J}_2 $ 의 통합은 감시된 부분공간에서의 인구를 효과적으로 억제하여 단절로 인한 오차를 감소시켰다.
• 기준 시뮬레이션에서 제안된 방법은 QuTiP/pulse_optim 및 Grape-TensorFlow보다 수렴 속도와 최종 게이트 정밀도에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 이 프레임워크에서 도출된 위험 중립적 제어 설계는 노이즈 민감도 분 析를 통해 해밀토니안 모델 불확실성에 대한 강건성을 향상시킴을 입증하였다.
• Störmer-Verlet 스킴은 슈뢰딩거 방정식의 비틀림 보존 구조를 유지하여 장기간의 안정성과 정확도를 보장한다.