[논문 리뷰] Optimal control of diffusion equation with fractional time derivative with nonlocal and nonsingular Mittag-Leffler kernel

Jean‐Daniel Djida, Gisèle Mophou외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 24.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모든 α ∈ (0,1)에 대해 시간에 대한 비국소적이고 비특이적인 미타그레플레르 커널을 가진 분수형 확산 방정식의 해가 존재하고 유일함을 증명하며, 스펙트럼 방법을 사용한다. 또한 라그랑주 승수법을 통해 최적 제어 문제를 제작하고, 제곱형 비용 기능을 최소화하는 유일한 제어를 도출하는 일阶 최적성 시스템을 유도한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a diffusion equation with fractional-time derivative with nonsingular Mittag-Leffler kernel in Hilbert spaces. Existence and uniqueness of solution are proved by means of a spectral argument. The existence of solution is obtained for all values of the fractional parameter $α\in (0,1)$. Moreover, by applying control theory to the fractional diffusion problem we obtain an optimality system which has also a unique solution.

연구 동기 및 목표

• 모든 α ∈ (0,1)에 대해 아탕가나-발레아누 시간 도함수를 가진 분수형 확산 방정식의 해가 존재하고 유일함을 증명하며, 이는 캄부-리만-리우빌 공식에서 관찰되는 α ∈ (1/2,1)로 제한된 것과는 다름을 초월한다.
• 상태 추적 및 제어 노력의 제곱형 비용 기능을 포함하는 최적 제어 문제를 설정하고 분석한다.
• 라그랑주 승수법을 사용하여 일阶 최적성 시스템을 유도함으로써, 유일한 최적 제어가 존재함을 보장한다.
• 기존의 분수형 도함수와는 달리, 아탕가나-발레아누 분수형 도함수가 전체 범위 α ∈ (0,1)에서 문제의 잘 정의됨을 보여준다.
• 함수적 도함수 조건과 최적성 조건을 통해 최적 제어를 계산하는 구조적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 모든 α ∈ (0,1)에 대해 아탕가나-발레아누 분수형 도함수를 가진 분수형 확산 방정식을 분석하기 위해 힐베르트 공간에서의 스펙트럼 이론을 사용한다.
• 아탕가나-발레아누 분수형 도함수의 부분적 적분 공식을 활용하여 문제의 약한 공식을 도출한다.
• Lax-Milgram 보조정리를 적용하여 상태 방정식에 대한 약한 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 상태 추적 오차와 제어 정규화를 조합한 Tikhonov 유형 항을 포함하는 비용 기능을 통해 최적 제어 문제를 구성한다.
• 시간을 거꾸로 뒤집은 아탕가나-발레아누 도함수를 사용하여 종료 조건 η(T) = 0을 가진 시간에 따라 거꾸로 향하는 양상 방정식을 유도한다.
• 라그랑주 승수법을 적용하여 일阶 최적성 시스템을 도출하고, 제어 공식 ū = −η/𝒩를 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아탕가나-발레아누 시간 도함수를 가진 분수형 확산 방정식에 대해 모든 α ∈ (0,1), 특히 α ≤ 1/2일 때도 해의 존재성과 유일성이 증명될 수 있는가?
• RQ2 비특이적이고 비국소적인 미타그레플레르 커널을 가진 분수형 도함수에 의해 구동되는 확산 방정식에 대해 최적 제어 문제를 어떻게 설정하고 해결할 수 있는가?
• RQ3 이러한 제어 문제에 대한 최적성 시스템의 구조는 어떻게 되며, 이는 유일한 최적 제어를 보장하는가?
• RQ4 아탕가나-발레아누 도함수의 선택이 캄부 또는 리만-리우빌 도함수와 비교해 상태 방정식과 수반 방정식의 정규성과 해법에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 최적 제어는 수반 상태에 대해 명시적으로 특성화될 수 있으며, 그에 따른 피드백 법칙은 무엇인가?

주요 결과

• 아탕가나-발레아누 시간 도함수를 가진 분수형 확산 방정식의 해가 존재하고 유일함이 모든 α ∈ (0,1)에 대해 증명되었으며, 이는 이전 결과가 α ∈ (1/2,1)로 국한되어 있던 것을 초월한다.
• 최적 제어 문제는 유일한 해를 가지며, 최적 제어는 공식 ū = −η/𝒩로 특성화되며, 여기서 η는 수반 방정식의 해이다.
• 일阶 최적성 시스템은 상태 방정식, 종료 조건이 있는 수반 방정식, 그리고 제어 공식으로 구성되며, 최적 제어의 완전한 특성화를 이룬다.
• 수반 상태 η는 L²((0,T); H²(Ω) ∩ H₀¹(Ω))에 속하여 최적성 조건이 성립하기 위한 충분한 정규성을 확보한다.
• 비용 기능의 함수적 도함수가 최적 제어에서 0이 되며, 이는 유도된 제어가 필수 최적성 조건을 충족함을 확인한다.
• 이 방법은 비특이적이고 비국소적 커널을 가진 분수형 PDE에 최적 제어 이론을 일반화하여, 기억 효과를 가진 복잡한 시스템에 대한 강력한 프레임워크를 제공한다.