[논문 리뷰] Optimal Control of Hybrid Systems Using a Feedback Relaxed Control Formulation

Tyler Westenbroek, Humberto González|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 30.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속 궤적을 갖는 하이브리드 시스템의 최적 제어를 위한 피드백 완화 제어 형식을 제안하며, 영역 제약 조건을 비선형 프로그래밍 프레임워크에 통합한다. 연속 상태에 기반하여 이산 모드를 비활성화하는 다중값 피드백 법칙을 사용함으로써, 슬라이딩 모드 현상과 제노 유사 행동을 정확히 포착하면서도 하이브리드 최적 제어 문제의 효율적인 수치적 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present a numerically tractable formulation for computing the optimal control of the class of hybrid dynamical systems whose trajectories are continuous. Our formulation, an extension of existing relaxed-control techniques for switched dynamical systems, incorporates the domain information of each discrete mode as part of the constraints in the optimization problem. Moreover, our numerical results are consistent with phenomena that are particular to hybrid systems, such as the creation of sliding trajectories between discrete modes.

연구 동기 및 목표

• 연속 궤적을 갖는 하이브리드 시스템의 최적 제어 문제를 수치적으로 해결하는 데 도전하는 것 — 이는 제노 실행과 비연속 동역학과 같은 현상으로 인해 어려운 문제이다.
• 실제 응용에서 흔한 제노 또는 궤도적으로 안정하지 않은 궤적을 배제하는 기존 최적성 조건의 한계를 극복하는 것.
• 모드별 영역 제약 조건을 통합함으로써, 이론적 완화 제어 이론을 하이브리드 시스템에 확장할 수 있는 계산적으로 실현 가능한 프레임워크를 개발하는 것.
• 상태에 따라 결정되는 제약 조건에 기반하여 이산 모드를 동적으로 비활성화하는 피드백 규칙을 통해, 슬라이딩 모드를 포함한 최적 궤적의 정확한 근사치를 확보하는 것.
• 표준 비선형 프로그래밍 문제로 변환함으로써 효율적인 계산을 위한 실용적인 수치적 구현을 제공하는 것

제안 방법

• 연속 상태 공간 $\mathcal{X}$, 이산 모드 집합 $\mathcal{I}$, 각 모드 $i$에 대한 영역 $\mathcal{D}_i$, 제어 입력 집합 $\mathcal{U}$, 모드별 벡터장 $\mathcal{F}$로 구성된 하이브리드 시스템을 튜플 $\mathcal{H} = (\mathcal{X}, \mathcal{I}, \mathcal{D}, \mathcal{U}, \mathcal{F})$로 표현한다.
• 모드 간의 연속적 전이를 가능하게 하기 위해, 다양한 모드의 벡터장을 볼록 조합으로 허용하는 완화 제어 형식을 도입한다.
• 보완 조건을 통한 모드 비활성화를 통합: 이산 모드 $i$는 $d_i(x) \leq 0$일 때에만 활성화되며, 여기서 $d_i$는 모드 $i$의 영역을 정의한다.
• 현재 연속 상태 $x(t)$를 특정 허용 가능한 이산 모드 집합으로 매핑하는 피드백 규칙을 사용하여, 효과적으로 상태에 의존하는 스위칭 논리를 생성한다.
• SNOPT와 같은 표준 수치 해소기(예: SNOPT)를 사용하여 결과 최적 제어 문제를 비선형 프로그래밍 문제로 변환한다.
• 완화된 해에서 이산 하이브리드 궤적을 복원하기 위해 투영 연산자 $\mathcal{P}_N$과 근사 지도 $\mathcal{F}_N$을 적용하여 수렴 분석을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 궤적을 갖는 하이브리드 시스템에 대해 완화 제어 형식을 확장하여 최적 제어 문제의 수치적 해법을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ2 이산 모드의 영역 제약 조건을 최적 제어 프레임워크에 통합하여 물리적 및 운영 가능성 보장을 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법이 하이브리드 시스템에서 흔한 비연속 현상인 슬라이딩 모드 행동을 정확히 포착할 수 있는가?
• RQ4 기존의 스위치 제어 시스템 접근 방식에 비해 피드백 기반의 모드 비활성화 규칙이 수치적 실현 가능성과 수렴성에 얼마나 기여하는가?
• RQ5 투영 및 근사 연산자를 통해 복원된 해가 진정한 하이브리드 최적 궤적을 얼마나 잘 근사하는가?

주요 결과

• 제안된 형식은 슬라이딩 모드와 같은 복잡한 행동을 포함한 연속 궤적을 갖는 하이브리드 시스템의 최적 제어 궤적을 성공적으로 계산한다.
• 문제를 표준 비선형 프로그래밍 문제로 변환함으로써 효율적인 수치적 해법이 가능해지며, SNOPT와 같은 상용 해소기로 해결할 수 있다.
• 헬리콥터 예제에서 안전 모드 $S$는 장애물 근처에서만 필요할 때에만 활성화되어 상태에 따라 모드 선택이 효과적으로 이루어졌음을 보여준다.
• 시간 샘플 수 $N=100$일 때 시뮬레이션은 201초 내로 완료되어 실시간 또는 임베디드 응용 분야에서의 계산 가능성과 실현 가능성을 입증한다.
• $N=12$로 $\mathcal{F}_N$과 $\mathcal{P}_N$을 사용한 근사치는 완화된 최적 궤적과 매우 유사한 하이브리드 궤적을 생성하여 빠른 수렴을 나타낸다.
• 결과는 전통적인 최적성 조건에서 제외되는 경우에도 피드백 완화 제어 형식이 슬라이딩 궤적과 제노 유사 행동과 같은 현상을 정확히 포착함을 확인했다.