[논문 리뷰] Optimal Control of Large-Scale Networks using Clustering Based Projections

Nan Xue, Aranya Chakrabortty|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 17.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 18인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 대규모 네트워크 시스템에 대해 축소된 차수의 선형 제곱조절기(LQR) 제어기를 설계하기 위해 군집 기반 투영 방법을 제안한다. 이는 계산 비용과 통신 비용을 크게 낮춘다. 구조적 행렬 $ P $ 를 통해 상태를 군집으로 투영함으로써, $ \mathcal{H}_2 $-노름 오차 최소화 문제를 정의하며, 이는 해석 가능한 최적화 문제로 완화되어 전체 차수 LQR보다 훨씬 적은 통신 링크를 필요로 하는 계층적 이중층 제어기로 이어진다.

ABSTRACT

In this paper we present a set of projection-based designs for constructing simplified linear quadratic regulator (LQR) controllers for large-scale network systems. When such systems have tens of thousands of states, the design of conventional LQR controllers becomes numerically challenging, and their implementation requires a large number of communication links. Our proposed algorithms bypass these difficulties by clustering the system states using structural properties of its closed-loop transfer matrix. The assignment of clusters is defined through a structured projection matrix P, which leads to a significantly lower-dimensional LQR design. The reduced-order controller is finally projected back to the original coordinates via an inverse projection. The problem is, therefore, posed as a model matching problem of finding the optimal set of clusters or P that minimizes the H2-norm of the error between the transfer matrix of the full-order network with the full-order LQR and that with the projected LQR. We derive a tractable relaxation for this model matching problem, and design a P that solves the relaxation. The design is shown to be implementable by a convenient, hierarchical two-layer control architecture, requiring far less number of communication links than full-order LQR.

연구 동기 및 목표

• 대규모 네트워크 시스템(수천 개의 상태를 포함)에 대해 전체 차수 LQR 제어기 설계 및 구현 시 발생하는 계산 및 통신 병목 현상을 해결하기 위해.
• 전체 차수 제어기와 투영된 축소 차수 제어기 사이의 $ \mathcal{H}_2 $-노름 오차를 최소화하는 모델 매칭 프레임워크를 개발하기 위해.
• 네트워크 시스템의 자연스러운 군집 구조를 존중하는 저차원 구현 가능한 제어기 아키텍처를 설계하기 위해.
• 인위적인 상태 분리 없이도 전역 안정성과 동적 성능을 유지하면서도 확장 가능하고 구조적인 제어기 설계를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 $ n $ 개의 시스템 상태를 $ r \ll n $ 개의 겹치지 않는 군집으로 분할하기 위해 구조적 투영 행렬 $ P \in \mathbb{R}^{r \times n} $ 를 사용하며, 제어기 설계 차원을 $ n $ 에서 $ r $ 으로 감소시킨다.
• 투영된 $ r $ 차원 시스템에서 축소 차수 LQR 제어기를 설계하며, 설계 행렬은 $ Q $, $ R $, 및 $ P $ 를 통해 제약을 받으며, 구조적 일致성을 확보한다.
• 축소된 제어기를 원래 상태 공간으로 다시 매핑하기 위해 역투영 $ P^T $ 를 통해 전체 차수 제어기를 재구성한다.
• 최적의 $ P $ 는 비볼록인 $ \mathcal{H}_2 $-노름 오차 최소화 문제를 두 단계 문제로 완화함으로써 구한다: 오차를 경계하고 낮은 질량 근사법을 적용한다.
• 세 가지 변형을 제안한다: 고정된 가중치로 군집 할당을 최적화하는 방법(가중치 k-평균 사용), 고정된 군집으로 가중치를 최적화하는 방법(텐서의 주된 고유벡터 또는 $ Z $-고유벡터를 통한 방법), 그리고 반복적인 공동 최적화 방법.
• 결과로 도출된 제어기는 계층적 이중층 아키텍처를 통해 구현 가능하며, 전체 차수 LQR 대비 훨씬 적은 통신 링크를 필요로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 네트워크에 대해 $ \mathcal{H}_2 $ 성능를 유지하면서도 통신 오버헤드를 최소화하는 축소 차수 LQR 제어기를 설계할 수 있는가?
• RQ2 전체 차수 제어기와 투영된 제어기 사이의 $ \mathcal{H}_2 $-노름 오차를 최소화하기 위해 상태를 군집에 최적으로 할당하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 대규모 네트워크 시스템에서 $ P $-설계를 위한 비볼록 모델 매칭 문제의 해석 가능한 완화 방법은 무엇인가?
• RQ4 제어기 설계를 자연스러운 군집 및 연결성 구조를 존중하도록 구조화할 수 있는가? 인위적인 분리 없이도 가능한가?

주요 결과

• 제안된 방법은 전체 차수 LQR 및 희박성 유도 LQR보다 훨씬 적은 통신 링크를 요구하여 확장 가능한 구현을 가능하게 한다.
• 전이 함수 불일치의 $ \mathcal{H}_2 $-노름 오차에 대한 경계는 잔여 투영의 프로베니우스 노름 $ \| (I - P^T P) \Phi^{1/2} \|_F $ 으로 기술되며, 이는 정량적 성능 보장을 제공한다.
• 고정된 군집 할당 조건 하에서 최적의 투영 가중치는 개방 루프 안정성에 따라 제어 가능성 그라미안의 주요 고유벡터 또는 텐서의 $ Z $-고유벡터를 통해 확보될 수 있다.
• 이 방법은 계층적 이중층 제어 아키텍처를 통해 실현 가능하며, 모듈러하고 확장 가능한 제어 설계를 가능하게 한다.
• 완화된 최적화 문제로부터는 성능와 복잡성의 균형을 이루는 해석 가능한 해가 도출되며, $ \mathcal{H}_2 $ 오차에 대한 이론적 경계가 존재한다.