[논문 리뷰] Optimal Control of Longitudinal Motions for an Elastic Rod with Distributed Forces

Georgy Kostin, Alexander Gavrikov|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 13.

Elasticity and Wave Propagation인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 분포력과 경계력이 작용하는 균일한 탄성 막대의 종방향 진동에 대한 정확한 해석적 최적 제어를 제시한다. 여행파 모델링과 약한 형태로 문제를 재구성함으로써, 저자들은 일차원 변분 접근을 통해 명시적인 최적 제어 법칙과 동적 장을 유도하며, 가용성 조건에 의해 결정되는 제어 가능 시간 동안 평균 에너지 저장을 최소화한다.

ABSTRACT

The study is devoted to mathematical modeling and optimal control design of longitudinal motions of a rectilinear elastic rod. The control inputs are a force, which is normal to the cross section and distributed piecewise constantly along the rod's axis, as well as two external lumped loads at the ends. It is assumed that the intervals of constancy in the normal force have equal length. Given initial and terminal states with a fixed time horizon, the optimal control problem is to minimize the mean mechanical energy stored in the rod. To solve the problem, two unknown functions are introduced: the dynamical potential and the longitudinal displacements. As a result, the initial-boundary value problem is reformulated in a weak form, in which constitutive relations are given as an integral quadratic equation. The unknown functions are both continuous in the new statement. For the uniform rod, they are found as linear combinations of traveling waves. In this case, all conditions on continuity as well as boundary, initial, and terminal constraints form a linear algebraic system with respect to the traveling waves and control functions. The minimal controllability time is found from the solvability condition for this algebraic system. After resolving the system, remaining free variables are used to optimize the cost functional. Thus, the original control problem is reduced to a one-dimensional variational problem. The Euler-Lagrange necessary condition yields a linear system of ordinary differential equations with constant coefficients supplemented by essential and natural boundary conditions. Therefore, the exact optimal control law and the corresponding dynamic and kinematic fields are found explicitly. Finally, the energy properties of the optimal solution are analyzed.

연구 동기 및 목표

• 분포력과 경계력이 작용하는 균일한 탄성 막대의 종방향 운동에 대한 정확한 해석적 최적 제어 해를 개발한다.
• 주어진 초기 조건과 최종 조건 하에서 고정된 시간 범위 동안 막대에 저장된 평균 기계적 에너지를 최소화한다.
• 파동 기반 공식화를 사용하여 임의의 초기 상태와 최종 상태 간의 최소 제어 가능 시간을 결정한다.
• 여행파 분해를 통해 분포 매개변수 최적 제어 문제를 일차원 변분 문제로 감소시킨다.
• 선형 대수학과 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 최적 제어 입력, 변위, 내부력을 명시적으로 표현한다.

제안 방법

• 동역학적 포텐셜과 종방향 변위를 두 개의 미지 연속 함수로 도입하여, 초기-경계값 문제를 약한 형태로 재구성한다.
• 분포력을 N개의 동일 길이의 구간으로 나누어 조각별로 일정한 값으로 모델링하며, 제어 입력은 이러한 구간에서 시간에 따라 변하는 함수로 표현한다.
• 시간-공간 메esh를 사용하여 연속성, 경계, 초기 및 최종 조건을 여행파 진폭에 대한 선형 대수적 시스템으로 표현한다.
• 균일한 막대의 경우, 변위와 포텐셜을 여행파의 선형 조합으로 표현함으로써 시스템의 정확한 해를 도출할 수 있다.
• 문제를 일차원 변분 문제로 감소시켜 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 혼합(필수 및 자연) 경계 조건을 갖는 해를 유도함으로써 최적 제어 법칙을 도출한다.
• 제어 입력(f_k(t))을 제어 적분(u_k(t))의 첫 번째 도함수로 재구성하며, 이는 시간에 대해 연속적이며 조각별로 스무스한 함수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포력과 경계 제어 하에서 주어진 초기 상태에서 특정 최종 상태로 균일한 탄성 막대를 이송하기 위해 필요한 최소 시간은 얼마인가?
• RQ2 분포 매개변수 탄성 막대의 최적 제어 문제는 해석적으로 풀 수 있는 일차원 변분 문제로 감소될 수 있는가?
• RQ3 공간 분할 수(N)와 시간 이산화 수(M)가 시스템의 최소 평균 에너지에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 여행파 기반으로 최적 제어 입력과 동적 장의 해석적 구조는 어떻게 되는가?
• RQ5 제어 요소 수가 증가함에 따라 최적 해의 에너지 특성은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 최소 제어 가능 시간은 파동 기반 연속성 및 경계 제약 조건에서 유도된 선형 대수적 시스템의 가용성 조건에 의해 결정된다.
• 최적 제어 입력은 t = 0.5, 1, 1.5에서 불연속성이 있는 조각별 스무스 함수로 명시적으로 유도된다(T = 2).
• 최적 에너지 기능 T·E(M,N)는 M과 N이 증가함에 따라 단조 감소하며, M에 대한 감소율은 몇 단계 이후에 거의 사라진다.
• N = 2일 때, 모든 M ≥ 2에 대해 최적 에너지 값은 일정하게 유지되며, 이는 공간 이산화에서趋세 효과를 나타낸다.
• N이 증가함에 따라 T·E(2,N)의 맵핑은 점차 한계값에 수렴하는 것처럼 보이며, 이는 연속적 분포 제어 근사로 수렴함을 시사한다.
• 최적 변위 v(t,x)는 t = 2일 때 에너지가 0이 되며, 최종 조건으로의 전체 상태 전달이 확인된다.