[논문 리뷰] Optimal control of nonlinear systems governed by Dirichlet fractional Laplacian in the minimax framework

Dorota Bors|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 03.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 시스템에 대한 스펙트럴 딜리클레 분수 라플라시안에 의해 지배되는 최적 제어의 존재성을 최소최대 프레임워크를 통해 확립한다. 변분 방법과 키 판 정리( Ky Fan Theorem )를 활용하여 약한 해의 존재성과 제어에 대한 연속적 의존성을 증명하며, 힐버트 공간 설정에서 주어진 비용 함수를 최소화하는 최적 제어의 존재로 이어진다.

ABSTRACT

We consider an optimal control problem governed by a class of boundary value problem with the spectral Dirichlet fractional Laplacian. Some sufficient condition for the existence of optimal processes is stated. The proof of the main result relies on variational structure of the problem. To show that boundary value problem with the Dirichlet fractional Laplacian has a weak solution we employ the renowned Ky Fan Theorem.

연구 동기 및 목표

• 스펙트럴 딜리클레 분수 라플라시안에 의해 지배되는 시스템에 대한 최적 제어 과정의 존재성을 확립하는 것.
• L^p 및 H_0^{\frac{\beta}{2}} 위상에서 제어 매개변수에 대한 약한 해의 연속적 의존성을 분석하는 것.
• 최소최대 프레임워크 내에서 키 판 정리를 통해 안장점 해의 존재성을 증명하는 것.
• 스펙트럴 분수 라플라시안 하에서 경계값 문제의 잘 정의됨을 보여주는 것.
• 안정성 및 하부 연속성 논증을 통해 비용 함수를 최소화하는 최적 제어의 존재를 검증하는 것.

제안 방법

• 유계 리프시츠 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, $n \geq 3$ 에서 고유함수 전개를 통한 분수 라플라시안 $(-Δ)^{\alpha/2}$ 의 스펙트럴 정의를 활용한다.
• 약한 해를 공간 $H_0^{\alpha/2}(\Omega) \times H_0^{\alpha/2}(\Omega)$ 내의 함수 $F_w(u,v)$ 의 임계점으로서 공식화함으로써 문제의 변분 구조를 활용한다.
• 행동 함수에 대해 안장점의 존재성을 보장하는 조건을 만족시키기 위해 키 판 정리를 적용하여 약한 해의 존재성을 확립한다.
• 제어 매개변수 $w_k \to w_0$ 에서 $L^p$ 수렴할 경우 $\{(u_k, v_k)\}$ 가 $H_0^{\alpha/2} \times H_0^{\alpha/2}$ 내에서 강한 수렴함을 증명함으로써 해의 제어에 대한 연속적 의존성을 확립한다.
• 제어의 약한* 또는 약한 수렴과 비용 함수 $J$ 의 하부 연속성 논증을 통해 최적 제어의 존재성을 증명한다.
• 선형 및 비선형 결합 항을 포함하는 두 가지 명시적 예제를 통해 프레임워크를 검증하며, $p \in (3/\alpha, \infty)$ 및 $s \in (1, 6/(3-\alpha))$ 를 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 결합 및 제어에 의존하는 항을 포함하는 스펙트럴 딜리클레 분수 라플라시안에 의해 지배되는 시스템에 대해 최적 제어가 존재하는가?
• RQ2 L^p 위상에서 제어 입력에 대한 분수 PDE의 약한 해는 어떻게 연속적으로 의존하는가?
• RQ3 최소최대 프레임워크와 키 판 정리를 사용하여 이 비국소적, 비선형 PDE 설정에서 안장점 해의 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ4 제어의 약한* 또는 약한 수렴과 상태의 강한 수렴에 대해 비용 함수 $J(u,v,w)$ 는 하부 연속적인가?
• RQ5 분수 소볼레프 공간의 맥락에서 경계값 문제의 잘 정의됨을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 주어진 변분 및 스펙트럴 가정 하에, $p \in (3/\alpha, \infty)$ 인 $L^p(\Omega, \mathbb{R}^m)$ 내의 임의의 제어 $w$ 에 대해 경계값 문제 (3) 은 적어도 하나의 약한 해를 갖는다.
• 제어 $w_k$ 가 $L^p$ 내에서 $w_0$ 로 수렴할 경우, 약한 해 $(u_k, v_k)$ 는 $H_0^{\alpha/2} \times H_0^{\alpha/2}$ 내에서 강하게 수렴함을 보여, 잘 정의됨을 입증한다.
• 비용 함수 $J(u,v,w)$ 는 $w_k$ 의 약한* 수렴과 $(u_k, v_k)$ 의 강한 수렴에 대해 하부 연속적이며, 이는 최소값의 도달을 보장한다.
• 비용 함수의 최소값을 도달하는 최적 제어 $w^*$ 가 존재하며, $J(u_0, v_0, w_0) = \inf_{(u,v,w) \in \mathcal{D}} J(u,v,w)$ 를 만족한다. 여기서 $(u_0, v_0)$ 는 $w^*$ 에 대응하는 해이다. 이는 주요 존재성 결과를 증명한다.
• 기능 $F_w(u,v)$ 는 안장점 유형이며, 키 판 정리에 의해 요구되는 조건을 만족하므로 임계점의 존재를 보장한다.
• 두 가지 명시적 예제가 구성되었으며, 하나는 $s \in (1, 6/(3-\alpha))$ 인 선형 사례이고, 다른 하나는 $s \in (1+1/(p-1), 6/(3-\alpha))$ 인 비선형 사례이며, 모두 주요 정리의 가정을 만족한다.