[논문 리뷰] Optimal control of the coefficient for fractional and regional fractional {$p$}-{L}aplace equations: Approximation and convergence

Harbir Antil, Mahamadi Warma|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 24.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 계수 제어를 갖는 분수 및 지역 분수 $p$-라플라스 방정식으로 지배되는 최적 제어 문제의 해가 존재하고 수렴함을 입증하며, 연속성의 위반을 극복하기 위해 정규화 기법을 사용한다. 주요 기여는 정규화된 최적 제어가 원래 문제의 해로 수렴함을 증명함으로써, 향후 작업에서 일阶 최적성 조건을 유도할 수 있는 기반을 마련하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we study optimal control problems with either fractional or regional fractional $p$-Laplace equation, of order $s$ and $p\in [2,\infty)$, as constraints over a bounded open set with Lipschitz continuous boundary. The control, which fulfills the pointwise box constraints, is given by the coefficient of the involved operator. To overcome the degeneracy of both fractional $p$-Laplacians, we introduce a regularization for both operators. We show existence and uniqueness of solution to the regularized state equations and existence of solution to the regularized optimal control problems. We also prove several auxiliary results for the regularized problems which are of independent interest. We conclude with the convergence of the regularized solutions.

연구 동기 및 목표

• 비선형적이며 가능성이 있는 비퇴화성인 국소적이지 않은 분수 $p$-라플라스 방정식으로 지배되는 최적 제어 문제에 대한 도전 과제를 다루기 위해.
• 지역 및 분수 $p$-라플라스 연산자의 퇴화를 새로운 정규화 접근법을 통해 극복하기 위해.
• 정규화된 최적 제어 문제의 해의 존재성과 수렴성을 확립하기 위해.
• 향후 작업에서 일阶 최적성 조건을 도출하기 위한 기반을 마련하기 위해.

제안 방법

• 작은 매개변수 $\varepsilon$를 추가하고 $\mathcal{G}_n(u,s)$를 통해 기울기 항을 잘라내는 방식으로 분수 및 지역 $p$-라플라스 연산자를 정규화한다.
• Hilbert 공간 기반의 $L^2$ 기반 비용 기능과 계수 $\kappa$에 대한 상자 제약 조건을 갖는 정규화된 최적 제어 문제(ROCP)를 정의한다.
• BV(\Omega)에서의 약한* 수렴과 $L^2(\Omega)$에서의 강한 수렴을 이용하여 정규화된 시스템에서 극한을 취한다.
• 콤���트성 및 하방 연속성 추론을 적용하여 정규화된 문제와 원래 문제의 해의 존재성을 증명한다.
• 비국소적 경우를 위해 분수 소볼레프 공간에서의 조밀성 결과와 $W_0^{s,p}(\overline{\Omega})$에서의 등가 노름을 활용한다.
• 정규화된 최적 제어 $\kappa_{\varepsilon,n}^\star$가 $\varepsilon \to 0$ 및 $n \to \infty$일 때 원래 최적 제어 문제의 해 $\kappa_\star$로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 퇴화성 있는 분수 $p$-라플라스 방정식에 대해 계수 제어를 갖는 최적 제어 문제가 잘 정의되어 있는가?
• RQ2 어떻게 정규화가 지역 및 분수 $p$-라플라스 연산자의 퇴화를 극복할 수 있는가?
• RQ3 정규화된 최적 제어 문제의 해가 원래 문제의 해로 수렴하는가?
• RQ4 비국소 비선형 문제의 수렴 분석을 가능하게 하는 $L^2$ 기반 비용 기능의 역할은 무엇인가?
• RQ5 이 수렴 프레임워크는 $0 < s < 1$인 비국소 분수 $p$-라플라스 연산자로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 정규화된 최적 제어 문제의 해 존재성은 $BV(\Omega)$에서의 약한* 컴팩트니스와 $L^2(\Omega)$에서의 강한 수렴을 통해 입증된다.
• 정규화에 의해 도입된 비퇴화성으로 인해 정규화된 상태 방정식은 유일한 해를 갖는다.
• 정규화된 최적 제어 $\kappa_{\varepsilon,n}^\star$는 $\varepsilon \to 0$ 및 $n \to \infty$일 때 원래 최적 제어 문제의 해 $\kappa_\star$로 수렴한다.
• 비용 기능의 수렴성은 liminf 및 limsup 추정을 통해 검증되었으며, $\mathbb{I}(\kappa_\star, u_\star) = \lim \mathbb{I}(\kappa_{\varepsilon,n}^\star, u_{\varepsilon,n}^\star)$임을 보였다.
• 결과는 $0 < s < 1$인 비국소 분수 $p$-라플라스 연산자 $(-\Delta)_p^s$로 최소한의 수정을 통해 확장된다.
• 수렴 프레임워크는 향후 원래 문제에 대한 일阶 최적성 시스템을 도출하는 데 유용하다.