[논문 리뷰] Optimal control problem of fully coupled forward-backward stochastic systems with Poisson jumps under partial information

Qingxin Meng|ArXiv.org|2009. 11. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 부분 정보 하에서 완전히 결합된 정방향-역방향 확률미분방정식과 포아송 점프를 포함한 확률적 최적 제어 문제에 대해 필수적이고 충분한 최대 원리의 필요조건과 충분조건을 수립한다. 볼록 해석과 쌍대 이론을 사용하여 확산, 점프, 제어 성분에 대한 보조 상태 변수를 포함하는 최적성 조건을 유도하며, 이는 이전 결과를 비연속성, 결합성, 부분 관측 환경으로 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we study a class of stochastic optimal control problem with jumps under partial information. More precisely, the controlled systems are described by a fully coupled nonlinear multi- dimensional forward-backward stochastic differential equation driven by a Poisson random measure and an independent multi-dimensional Brownian motion, and all admissible control processes are required to be adapted to a given subfiltration of the filtration generated by the underlying Poisson random measure and Brownian motion. For this type of partial information stochastic optimal control problem, we give a necessary and sufficient maximum principle. All the coefficients appearing in the systems are allowed to depend on the control variables and the control domain is convex.

연구 동기 및 목표

• 기본 브라운 운동과 포아송 난수 측정에 대한 정보가 제한된 제어자가 존재하는 확률적 최적 제어 문제를 다루는 것.
• 브라운 운동과 포아송 점프에 의해 구동되는 완전히 결합된 정방향-역방향 확률미분방정식에 대한 확률적 최대 원리를 확장하는 것.
• 제어 과정이 하위 필터레이션에 따라 적응되며, 현실 세계의 정보 제약 조건을 반영하는 부분 정보 필터레이션을 통합하는 것.
• 포아송 점프가 있는 정방향 SDE에 대한 최대 원리와 점프가 없는 완전히 결합된 FBSDE에 대한 기존 결과를 일반화하는 것.
• 부분 관측 하에서 비선형, 다차원, 비연속적인 확률 제어 시스템의 최적성 조건을 위한 통합 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• d차원 브라운 운동과 포아송 난수 측정에 의해 구동되는 완전히 결합된 정방향-역방향 확률미분방정식(FBSDE)을 사용하여 최적 제어 문제를 수립한다.
• 비용 상태 변수를 나타내는 쌍대 과정 $\hat{p}_t$, $\hat{q}_t$, $\hat{k}_t$, $\hat{\beta}_t(e)$, $\hat{r}_t(\cdot)$를 포함하는 보조 정방향-역방향 시스템을 도입한다.
• 볼록 해석과 쌍대 이론을 적용하여 정방향 및 역방향 방정식의 계수와 보조 과정을 결합한 해밀토니안 $H(t, \cdot)$를 유도한다.
• 변분 부등식을 통해 필요 조건을 도출하며, 제어 $v$에 대한 해밀토니안의 도함수 기대값이 0이 되어야 함을 보인다.
• 해밀토니안이 제어에 대해 볼록이고 보조 과정이 보조 방정식을 만족하면 후보 제어가 최적임을 증명함으로써 충분 조건을 확립한다.
• 이토 공식과 이토-마이어 공식을 사용하여 점프 및 확산 성분을 다루며, $L^2$ 적분 가능성 조건 하에서 확률적 적분의 기댓값이 0이 되도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 정보 하에서 완전히 결합된 정방향-역방향 SDE에 대한 확률적 최대 원리는 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 브라운 운동과 포아송 점프에 의해 생성되는 필터레이션에 대한 접근이 제한된 제어자가 존재하는 확률적 제어 문제에서 최적성의 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 시스템의 최적성 조건에서 확산, 점프, 제어 성분에 대한 보조 과정은 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 포아송 점프의 포함과 정방향 및 역방향 성분 간의 완전한 결합이 연속성 또는 분리된 경우와 비교하여 최적성 조건의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 필터레이션이 오른쪽 연속적이거나 완비되지 않은 경우에도 동적 프ogramming 원리에 의존하지 않고 최대 원리를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 이 논문은 부분 정보 하에서 포아송 점프를 포함한 완전히 결합된 정방향-역방향 확률 시스템에 대해 필수적이고 충분한 최대 원리를 수립한다.
• 최적성 조건은 해밀토니안에 포함된 보조 과정을 고려한 조건 $\mathbb{E}[\nabla_v H(t, \cdot) | \varepsilon_t] = 0$로 특징지어진다.
• 보조 과정 $\hat{p}_t$, $\hat{q}_t$, $\hat{k}_t$, $\hat{\beta}_t(e)$, $\hat{r}_t(\cdot)$는 정방향 및 역방향 역학을 연결하는 역방향 확률미분방정식 시스템을 만족한다.
• 기존 결과를 일반화한다: 점프가 없을 경우 결과는 멩(2009)의 경우로 축소된다; 역방향 성분이 없을 경우 바그레와 옥센달(2008)의 경우로 축소된다.
• 비결합, 일차원 FBSDE에 대한 점프 포함 케이스(Oksendal과 Sulem, 2008)는 완전히 결합된 시스템이 그 설정을 포함하므로 특수한 경우로 포함된다.
• 유도 과정은 확률적 적분의 마틴갈 성질을 확보하기 위해 $L^2$ 적분 가능성 조건 (4.3)–(4.10)에 의존하며, 이는 쌍대 추론에 필수적이다.