[논문 리뷰] Optimal Control Theory on almost-Lie Algebroids

Michał Jóźwikowski|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 38인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 거의-리 대수총을 이용한 최적 제어 이론을 개발하여, 리 대수총의 적분 조건을 완화한 기하적 구조로 고전적 최적 제어를 일반화한다. 이 틀 안에서 폰트리아긴 최대원리의 공식화를 통해, 거의-리 대수총에서 해밀턴 형식을 이용하여 최적성의 필요 조건을 유도함으로써, 비적분 가능한 기하적 환경으로까지 변분 방법을 확장한다.

ABSTRACT

We extend the Pontryagin Maximum Principle (PMP) to the geometric setting of almost-Lie (AL) algebroids -- objects which generalize Lie algebroids. The result may be understood as a very general reduction scheme for optimal control problems (OCPs). It covers the standard PMP, as well as gives necessary optimality conditions for symmetric OCPs on Lie groups, principal bundles, and Lie groupoids. We do not assume the symmetry of boundary conditions. The ideas are based on a very general concept of homotopy of admissible paths on AL algebroids. Our framework works for OCPs with fixed-end-points and general boundary conditions.

연구 동기 및 목표

• 리 대수총의 약화된 자코비 항등식 조건을 가진 거의-리 대수총의 기하적 배경으로 최적 제어 이론을 확장하기 위해.
• 거의-리 대수총의 맥락에서 폰트리아진 최대원리를 공식화하여 최적성의 필요 조건을 제공하기 위해.
• 기계학 및 제어에서 나타나는 비적분 가능한 기하적 구조로까지 변분 원리와 해밀턴 역학을 일반화하기 위해.
• 기존 리 대수총 이론이 적용되지 않는 특이하거나 비정칙 기하적 구조에서 최적 제어의 프레임워크를 수립하기 위해.

제안 방법

• 거의-리 대수총의 앵커 사상과 괄호 연산을 이용해 제어 시스템의 역학을 수립하기 위해.
• 시스템의 에너지와 진화를 기술하기 위해 거의-리 대수총의 쌍대(bundle)에 해밀턴 함수를 정의하기 위해.
• 자코비 항등식이 성립하지 않을 경우에도 거의-리 대수총의 구조를 통해 해밀턴 벡터장을 도출하기 위해.
• 이 기하적 배경에서 폰트리아진 최대원리를 적용하여 최적성의 필요 조건을 도출하기 위해.
• 쌍대 작용과 쌍대 쌍대를 이용해 제어 변수를 대수총의 운동량 공간과 연결하기 위해.
• 극값 곡선과 거의-리 대수총의 쌍대(bundle)에서의 해밀턴 시스템 해 사이의 대응 관계를 수립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폰트리아진 최대원리는 거의-리 대수총에서 정의된 시스템으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 비적분 가능한 기하적 구조에 의해 지배되는 제어 시스템에서 최적성의 필요 조건은 무엇인가?
• RQ3 거의-리 대수총에서 자코비 항등식의 실패는 최적 제어 법칙의 공식화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 변분 문제 및 제어 문제에 대해 해밀턴 형식은 거의-리 대수총으로 일관되게 확장될 수 있는가?
• RQ5 거의-리 대수총에서 최적 제어의 기하적 구조에서 쌍대(bundle)와 쌍대 오비트의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 폰트리아진 최대원리가 거의-리 대수총으로 성공적으로 일반화되어, 비적분 가능한 기하적 제약 조건이 있는 시스템에서 최적성의 필요 조건을 제공한다.
• 자코비 항등식이 실패하더라도 거의-리 대수총의 쌍대(bundle)에서 해밀턴 벡터장이 잘 정의되어 해밀턴 방법의 사용이 가능하다.
• 최적 궤적은 거의-리 대수총의 구조와 제어 제약 조건에서 유도된 해밀턴 벡터장의 적분 곡선과 대응된다.
• 쌍대(bundle)에서의 쌍대 작용은 제어 시스템에서 보존량과 대칭성을 특성화하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 이 프레임워크는 기존 리 대수총 이론이 적용되지 않는 특이하거나 비정칙 기하적 구조에서 제어 시스템을 분석할 수 있도록 한다.
• 이 이론은 비적분 가능한 환경에서 최적 제어와 변분 원리의 기하적 통합을 제공한다.