[논문 리뷰] Optimal Controller and Actuator Design for Nonlinear Parabolic Systems

M. Sajjad Edalatzadeh, Kirsten Morris|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 07.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 62인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 힘학적 기반 필수 조건을 통한 해밀토니안 기반 필요 조건을 이용하여 비선형 포아송 시스템, 즉 쿠라모토-시바시니스크 및 비선형 열 방정식을 포함하여 최적의 제어기와 액추에이터의 존재를 확립한다. 주요 기여는 일반적인 비선형성과 시스템 안정성 가정 없이 동시 최적 제어 및 액추에이터 배치를 위한 이론적 프레임워크를 수립한 것이다.

ABSTRACT

Many physical systems are modeled by nonlinear parabolic differential equations, such as the Kuramoto-Sivashinsky (KS) equation. In this paper, the existence of a concurrent optimal controller and actuator design is established for semilinear parabolic systems. Optimality equations are provided. The results are shown to apply to optimal controller/actuator design for the Kuramoto-Sivashinsky equation and also nonlinear diffusion.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 비선형 분포 매개변수 시스템에 대한 최적 액추에이터 설계에 관한 이론적 결과의 부족을 해결하기 위해.
• 최소한의 가정으로 반선형 포아송 시스템에 대해 동시 최적 제어기 및 액추에이터 설계의 존재를 확립하기 위해.
• 제어 입력과 액추에이터 위치의 공동 최적화를 위한 일阶 필요 최적성 조건을 유도하기 위해.
• 기존 선형 PDE 제어 이론을 시스템 안정성 가정 없이 비선형 시스템으로 확장하기 위해.
• 쿠라모토-시바시니스크 및 비선형 열 방정식과 같은 물리적으로 관련된 방정식에의 적용 가능성을 보여주기 위해.

제안 방법

• 반선형 포아송 시스템의 포물형 선형 부분을 가진 일반적인 바나흐 공간 설정에서 제어 문제를 수립한다.
• 해밀토니안 체계를 통한 필요 조건을 도출하기 위해 라그랑주 승수법을 적용한다.
• 해결의 유계성 보장을 위해 리아푸노프 함수 방법을 사용하며, 조건 $\zeta F(\zeta) \leq 0$ 하에 입력-상태 안정성을 입증한다.
• 비용 기능 $J = \int_0^\tau \|w\|^2_{L^2(\Omega)} dt + \int_0^\tau \|u\|^2 dt$ 를 위한 수반 시스템을 유도한다. 이는 최적성 조건을 지배한다.
• 상태 방정식, 수반 방정식, 제어 공식 $u^o(t) = -\int_\Omega r^o(\xi) f^o(\xi,t) d\xi$, 그리고 액추에이터 제약 조건 $\int_0^\tau u^o(t) f^o(\xi,t) dt = 0$ 를 포함하는 최적성 시스템을 유도한다.
• 단위 구의 제약 조건 $\|w_0\|_{H^1_{\Gamma_0}(\Omega)} = 1$ 하에, 최악의 초기 조건을 라그랑주 승수 조건 $f^o(\xi,0) + \mu w_0(\xi) = 0$ 를 통해 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템 안정성 가정 없이 일반적인 비선형 포아송 시스템에 대해 최적의 제어기 및 액추에이터 설계가 존재하는가?
• RQ2 반선형 포아송 시스템에서 동시 제어기 및 액추에이터 설계를 위한 일阶 필요 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ3 최적 제어 성능을 위해 상태 공간 내 단위 구 안에서 최악의 초기 조건을 어떻게 결정할 수 있는가?
• RQ4 이론적 프레임워크는 쿠라모토-시바시니스크 및 비선형 열 방정식과 같은 특정 비선형 PDE에 적용 가능한가?
• RQ5 비선형성에 대한 어떤 구조적 조건이 최적 제어 하에서 해의 유계성과 잘 정의됨을 보장하는가?

주요 결과

• 입력 연산자의 약한 연속성과 선형 부분의 강력성 조건을 포함한 자연스러운 가정 하에 반선형 포아송 시스템에 대해 최적 제어기 및 액추에이터 설계의 존재가 증명된다.
• 수반 시스템과 해밀토니안 체계를 이용한 일阶 최적성 조건이 도출되었으며, 이는 명시적인 제어 및 액추에이터 공식을 포함하는 상태 및 수반 방정식의 결합 시스템을 제공한다.
• 비선형 열 방정식의 경우 조건 $\zeta F(\zeta) \leq 0$ 가 입력-상태 안정성을 보장하며, 해의 노름에 대한 유계성을 보장한다: $\|w(\tau)\|^2 \leq \|w_0\|^2 + \frac{4}{c_\Omega} \|u\|^2_{L^2(0,\tau)} \|r\|^2_{\mathbb{K}}$.
• 최적 제어는 $u^o(t) = -\int_\Omega r^o(\xi) f^o(\xi,t) d\xi$ 로 주어지며, 액추에이터 위치 $r^o$ 는 모든 $\xi \in \Omega$ 에 대해 제약 조건 $\int_0^\tau u^o(t) f^o(\xi,t) dt = 0$ 를 만족한다.
• 단위 구 $H^1_{\Gamma_0}(\Omega)$ 내 최악의 초기 조건은 $f^o(\xi,0) + \mu w_0(\xi) = 0$ 를 만족하며, 여기서 $\mu$ 는 제약 조건 $\|w_0\|_{H^1_{\Gamma_0}(\Omega)} = 1$ 을 강제하는 라그랑주 승수이다.
• 이론적 프레임워크는 쿠라모토-시바시니스크 방정식과 비선형 열 방정식에 성공적으로 적용되었으며, 물리적으로 중요한 PDE에 대한 광범위한 적용 가능성을 보여주었다.